Tìm $m$ để với mọi $x>9$ ta có: $m(\sqrt{x}-3)P>x+1$

Bài toán:

Cho $P=(\dfrac{4\sqrt{x}}{2+\sqrt{x}}+\dfrac{8x}{4-x}):(\dfrac{\sqrt{x}-1}{x-2\sqrt{x}}-\dfrac{2}{\sqrt{x}})$

Tìm $m$ để với mọi $x>9$ ta có: $m(\sqrt{x}-3)P>x+1$

Lời giải:Rút gọn được $P=\dfrac{4x}{\sqrt{x}-3}$

Với $x>9$ ta có:

$m(\sqrt{x}-3)P>x+1\Leftrightarrow 4mx>x+1$

$\Leftrightarrow (4m-1)x>1$ $(*)$

*) Nếu $4m-1=0$ thì $(*)\Leftrightarrow 0>1$ (Vô lý)

*) Nếu $4m-1<0$ thì $(*)\Leftrightarrow x<\dfrac{1}{4m-1}$

Đặt $\dfrac{1}{4m-1}=\alpha$ thì $x<\alpha$ và $x>9$

Vậy thì $9<x<\alpha$

$\Rightarrow$ Tập nghiệm của bất phương trình $(*)$ không chứa

hết các giá trị $x>9$

(Vẽ trục số ra bạn sẽ thấy

Ta thấy $9<x<\alpha$ tức là $x$ bị chặn ở 1 khoảng từ $9$ tới $\alpha$

Mà tập nghiệm của BPT là $x$ bị chặn ở 1 khoảng từ $9$ tới dương vô cùng

Vì vậy TH1 đã không chứa hết $x>9$) 

Trường hợp này bị loại

*) Nếu $4m-1>0$ thì $(*)\Leftrightarrow x>\dfrac{1}{4m-1}$

Lập luận giống TH2 thì ta có:

$\dfrac{1}{4m-1}\leq 9$

(Đặt $\dfrac{1}{4m-1}=\alpha$ thì $x>\alpha$ và $x>9$

$\Rightarrow \alpha \leq 9$ thì tập nghiệm của BPT mới có thể bao gồm toàn bộ $x>9$)

Nhớ là $4m-1>0$ nữa

Đến đây dễ rồi.