Tìm Min: $S=\dfrac{a}{c+b-a}+\dfrac{4b}{a+c-b}+\dfrac{9c}{a+b-c}$

Bài toán:
Cho tam giác $ABC$ có chu vi bằng $2$. Kí hiệu $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh.

Tìm Min:
$S=\dfrac{a}{c+b-a}+\dfrac{4b}{a+c-b}+\dfrac{9c}{a+b-c}$


Lời giải:

Đặt $b+c-a=x;c+a-b=y;a+b-c=z$

$\Rightarrow x+y+z=2$

Có: $S=\dfrac{y+z}{2x}+\dfrac{2(z+x)}{y}+\dfrac{9(x+y)}{2z}$

$=\dfrac{y}{2x}+\dfrac{z}{2x}+\dfrac{2x}{y}+\dfrac{2z}{y}+\dfrac{9x}{2z}+\dfrac{9y}{2z}$

$=(\dfrac{y}{2x}+\dfrac{2x}{y})+(\dfrac{z}{2x}+\dfrac{9x}{2z})+(\dfrac{2z}{y}+\dfrac{9y}{2z})$

Áp dụng BĐT AM-GM $\Rightarrow S\geq 11$

Dấu = có khi: $a=\dfrac{5}{6};b=\dfrac{2}{3};c=\dfrac{1}{2}$