PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC ĐẶC BIỆT

PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC ĐẶC BIỆT

Phương trình chứa căn thức khá đa dạng và cũng phong phú về cách giải. Bài viết này trình bày về phương pháp đặt ẩn phụ để giải một số phương trình chứa căn thức có dạng đặc biệt là:

$\alpha x+\beta =F(\sqrt{1-x},\sqrt{1+x}) (*)$

Chúng ta chủ yếu sẽ xét các phương trình dạng:

$\alpha x+\beta =a\sqrt{1-x}+b\sqrt{1+x}+c\sqrt{1-x^2}(**)$

Trước hết ta thấy các phương trình trên có tập xác định là $[-1;1]$.

I. Phương pháp đặt ẩn phụ hoàn toàn.

1. Đặt một ẩn phụ:
Nếu các hệ số trong $(**)$ thỏa mãn điều kiện:

$\left\{\begin{matrix}ab=\frac{c}{2} & & \\ a^2-b^2=\alpha & & \end{matrix}\right.(***)$

thì ta có thể đặt $t=a\sqrt{1-x}+b\sqrt{1+x}$
Khi đó: $t^2=(a\sqrt{1-x}+b\sqrt{1+x})^2$

$=2ab\sqrt{1-x^2}-(a^2-b^2)x+(a+b)$

$=c\sqrt{1-x^2}-\alpha x+(a+b)$
Từ đó được phương trình ẩn $t$.

Ví dụ 1: 



Giải pt:
$4=\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}+2\sqrt{1-x^2} (1)$
Lời giải: Đặt $t=\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}$ với $t\geq 0$

Ta có: $t^2=2+2\sqrt{1-x^2}\Rightarrow 2\sqrt{1-x^2}=t^2-2$

Từ đó ta được phương trình:
$4=t+t^2-2\Leftrightarrow t^2+t-6=0\Leftrightarrow t=2$ (Do $t\geq 0$)

$\Rightarrow 4=2+2\sqrt{1-x^2}\Leftrightarrow x=0$

Thử lại thỏa mãn.

Ví dụ 2: Giải pt:
$3x-7=3\sqrt{1+x}-6\sqrt{1-x}-4\sqrt{1-x^2} (2)$

Lời giải: Ta có:

$(2)\Leftrightarrow 3x-7=3(\sqrt{1+x}-2\sqrt{1-x})-4\sqrt{1-x^2}$

Kiểm tra với $\alpha =3;a=-2;b=1;c=-4$ thì thỏa mãn $(***)$.

Đặt $t=\sqrt{1+x}-2\sqrt{1-x}$, ta được phương trình:
$t^2+3t+2=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix}t=2 & & \\ t=-1 & & \end{bmatrix}$

Ta đưa về giải các phương trình:

$\begin{bmatrix}\sqrt{1+x}-2\sqrt{1-x}=2 & & \\ \sqrt{1+x}-2\sqrt{1-x}=-1 & & \end{bmatrix}$

Chuyển vế bình phương, từ đó tìm ra nghiệm của phương trình.

Ví dụ 3: Giải pt:
$12\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}-8\sqrt[4]{1-x^2}=0 (3)$

Lời giải: Thử $x=-1$ không thỏa mãn $(3)$.

Xét $x\neq -1$, ta có:
$(3)\Leftrightarrow 12\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}}+1-8\sqrt[4]{\dfrac{1-x}{1+x}}=0$
Đặt $t=\sqrt[4]{\dfrac{1-x}{1+x}}$ ta được phương trình:

$12t^2-8t+1=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix}t=\frac{1}{2} & & \\ t=\frac{1}{6} & & \end{bmatrix}$

Từ đó tìm ra nghiệm của phương trình.

2. Đặt ẩn phụ:
Ví dụ 4: Giải pt:

$x+3=\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}+3\sqrt{1-x^2} (4)$

Lời giải: Ta tìm $\alpha ;\beta$ thỏa mãn:
$x+3=\alpha (1+x)+\beta (1-x)=(\alpha -\beta )x+(\alpha +\beta )$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\alpha -\beta =1 & & \\ \alpha +\beta =3 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\alpha =2 & & \\ \beta =1 & & \end{matrix}\right.$

Đặt $u=\sqrt{1+x};v=\sqrt{1-x}$. Ta được:

$2u^2+v^2=v-u+3uv\Leftrightarrow 2u^2-3uv+v^2=v-u$

$\Leftrightarrow (u-v)(2u-v)=v-u\Leftrightarrow \begin{bmatrix}u=v & & \\ 2u-v=-1 & & \end{bmatrix}$

Từ đó tìm ra nghiệm của pt.

II. Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn.

Ví dụ 5: Giải pt:
$4x+3=-6\sqrt{1-x}+12\sqrt{1-x^2}(5)$

Lời giải: Đặt $t=\sqrt{1+x}$ ($0\leq t\leq \sqrt{2}$)

Suy ra $x=t^2-1$. Ta được phương trình.

$4t^2-1=-6\sqrt{1-x}+12t\sqrt{1-x}\Leftrightarrow 4t^2-12t\sqrt{1-x}+6\sqrt{1-x}-1=0$

Coi đây là phương trình bậc 2 ẩn $t$, ta có:

$\Delta '=(6\sqrt{1-x}-2)^2$

Từ đó $t=\dfrac{1}{2}$ hoặc $t=\dfrac{6\sqrt{1-x}-1}{2}$

Ta đưa về giải các phương trình ẩn $x$.
Từ đó tìm ra nghiệm của pt.

Ví dụ 6: Giải pt:
$x+1=2\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}-\sqrt{1-x^2}(6)$

Lời giải: Đặt $t=\sqrt{1-x}$ ($0\leq t\leq \sqrt{2}$)
Suy ra $x=1-t^2$. Ta được phương trình:

$t^2-(\sqrt{1+x}+1)t+2(\sqrt{1+x}-1)=0$

Coi đây là phương trình bậc 2 ẩn $t$, ta có:

$\Delta =(\sqrt{1+x}-3)^2$

Từ đó $t=\sqrt{1+x}-1$ hoặc $t=2$ (loại)

Từ đó tìm ra $x$.

Ví dụ 7: Giải pt:

$3x+1=-2\sqrt{1-x}+4\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x^2}(7)$

Lời giải: Xét $a;b;c$ thỏa mãn:
$3x+1=a(\sqrt{1+x})^2+b(\sqrt{1-x})^2+c$

Đặt $t=\sqrt{1-x}$ ($0\leq t\leq \sqrt{2}$)

Pt (7) trở thành:

$bt^2+(2+\sqrt{1+x})t+a(\sqrt{1+x})^2-4\sqrt{1+x}+c=0$

Với $b\neq 0$, coi đây là phương trình bậc hai ẩn t, chọn $m,n$ thỏa mãn:
$\Delta =(2+\sqrt{1+x})^2-4b[a(\sqrt{1+x})^2-4\sqrt{1+x}+c]$

$=m(\sqrt{1+x}+n)^2\Rightarrow \left\{\begin{matrix}1-4ab=m^2 & & \\ 2(1+4b)=mn & & \\ 4(1-bc)=n^2 \end{matrix}\right.$

Chọn $a=2;b=-1;c=0$ thì tìm được $m=-3$ và $n=2$.

Khi đó $\Delta =(-3\sqrt{1+x}+2)^2$ và ta được 

$\begin{bmatrix}t=2\sqrt{1+x} & & \\ t=2-\sqrt{1+x} & & \end{bmatrix}$

Từ đó tìm ra $x$.

Ví dụ 8: Giải pt:

$-x+5=5\sqrt{1-x}+3\sqrt{1+x}-3\sqrt{1-x^2}(8)$

Lời giải: Xét $a;b;c$ thỏa:
$-x+5=a(1+x)+b(1-x)+c$

Đặt $t=\sqrt{1+x}$ ($0\leq t\leq \sqrt{2}$)

Pt (8) trở thành:

$at^2-3(1-\sqrt{1-x})^2-4ab[(\sqrt{1-x})^2-5\sqrt{1-x}+c]$
$=(m\sqrt{1-x}+n)^2$

Tìm được $a=b=c=1$ thì $m=n=1$.

Từ đó $\Delta =(\sqrt{1-x}+1)^2$ và ta được:
$\begin{bmatrix}t=2-\sqrt{1-x} & & \\ t=1-2\sqrt{1-x} & & \end{bmatrix}$

Từ đó tìm ra $x$.

Bài tập tự luyện:
Bài 1: Giải các pt sau:
a) $3=\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}-2\sqrt{1-x^2}$

b) $x+3=2\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x^2}$

c) $x+5=2\sqrt{1-x}+4\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x^2}$

d) $x=3\sqrt{1-x}-2\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1+x}$

e) $3x-1=-4\sqrt{1-x}+2\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x^2}$

f) $x-1=-2\sqrt{1-x}+1+x-2\sqrt{1-x^2}$

g) $x^2+x+8=2(3+x)\sqrt{1-x}+4\sqrt{1+x}-2\sqrt{1-x^2}$

Bài 2: Tìm các giá trị của tham số $m$ để các phương trình sau có nghiệm:
a) $m(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}+2)=1+\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x^2}$

b) $(m+1)(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}+2)=-\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}+2\sqrt{1-x^2}$

c) $3\sqrt{1-x}+m\sqrt{1+x}-2\sqrt[4]{1-x^2}=0$