$\sqrt{\dfrac{a}{4a+4b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{4b+4c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{4c+4a+b}}\leq 1$

Bài toán: 

Cho a,b,c là các số thực dương .CMR : $\sqrt{\dfrac{a}{4a+4b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{4b+4c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{4c+4a+b}}\leq 1$

Lời giải:

Ta sẽ chứng minh:

$\sum \dfrac{a}{4a+4b+c}\leq \dfrac{1}{3}$ (1)

Nhân 2 vế với 4(a+b+c) ta được

$\sum \dfrac{a}{4a+4b+c}4(a+b+c)\leq \dfrac{4(a+b+c)}{3}$

$\Leftrightarrow (a+b+c)+\sum \dfrac{a}{4a+4b+c}.(3c)\leq \dfrac{4(a+b+c)}{3}$

$\Leftrightarrow \sum \dfrac{3ac}{4a+4b+c}\leq \dfrac{a+b+c}{3}$

$\Leftrightarrow \sum \dfrac{9ac}{4a+4b+c}\leq a+b+c$

$(1)\Leftrightarrow \sum \dfrac{9ac}{4a+4b+c}\leq a+b+c$

$VT=\sum ac(\dfrac{(2+1)^2}{2(2a+b)+(2b+c)})\leq \sum (\dfrac{2ac}{2a+b}+\dfrac{ac}{2b+c})$

$=\sum (\dfrac{2ac}{2a+b}+\dfrac{bc}{2a+b})=(a+b+c)$

Vậy (1) được CM. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$ hoặc $a=2b,c=0$ và các hoán vị

Trở lại bài toán:

Ta có:$\sum \dfrac{a}{4a+4b+c}\geq \dfrac{2}{3}\sum \sqrt{\dfrac{a}{4a+4b+c}}-\dfrac{1}{3}$

Kết hợp (1) ta có đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$.