Cách phân tích căn bậc 2 , bậc 3

Cách phân tích căn bậc 2 , bậc 3

diendantoanhoc.net

I. Căn bậc 2

Khi phân tích căn bậc 2 , ta thường chuyển về dạng $\sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{(c+d)^2}$ để từ đó làm mất dấu căn lớn ở ngoài 

tức là ta sẽ đi tạo thành hằng đẳng thức $\sqrt{(c+d)^2}=\sqrt{c^2+2cd+d^2}$. Thử các ví dụ sau :

Ví dụ 1: Rút gọn:

$A=\sqrt{8-2\sqrt{15}}-\sqrt{8+2\sqrt{15}}$

Giải:

Chúng ta cần chuyển về dạng $\sqrt{(c+d)^2}=\sqrt{c^2+2cd+d}$ .Trước tiên nhìn vào hệ số 2ab là $2\sqrt{15}$ . 

Thấy được : $2\sqrt{15}=2.\sqrt{3}.\sqrt{5}$

nên dự đoán hệ số c,d bằng 3,5. Thay vào ta được :

$\sqrt{8+2\sqrt{15}}=\sqrt{3+2.\sqrt{3}.\sqrt{5}+5}=\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2}=\sqrt{3}+\sqrt{5}$

Tương tự : 

$\sqrt{8-2\sqrt{15}}=\sqrt{3-2.\sqrt{3}.\sqrt{5}+5}=\sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2}=\sqrt{5}-\sqrt{3}$

Vậy :

$A=\sqrt{5}-\sqrt{3}-\sqrt{5}-\sqrt{3}=-2\sqrt{3}$

Ví dụ 2 : Rút gọn:

$$B=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{29-12\sqrt{5}}}}$$

Giải:

Trước tiên ra rút gọn $29-12\sqrt{5}$

xét hệ số $2cd$ là $12\sqrt{5}$

Ta có các khả năng sau:

1.$12\sqrt{5}=2.6.\sqrt{5}$

nhưng nếu cho hệ số $c$ là $6$ , $d$ là $\sqrt{5}$ thì $c^2+d^2=41$ $\Rightarrow$ loại trường hơp này

2. $12\sqrt{5}=2.2.3\sqrt{5}$

nhưng nếu cho hệ số $c=3\sqrt{5}$, $d=2$ thì $c^2+d^2=49$ $\Rightarrow$ loại trường hơp này

3. $12\sqrt{5}=2.3.2\sqrt{5}$

thử thay $c=3,d=2\sqrt{5}$ thì ta thấy $c^2+d^2=29$, đúng 

nên

 $\sqrt{29-12\sqrt{5}}=\sqrt{20-2.3.2\sqrt{5}+9}=\sqrt{(2\sqrt{5}-3)^2}=2\sqrt{5}-3$

Thay vào bài toán :

$$B=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-2\sqrt{5}+3}}=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{6-2\sqrt{5}}}$$

Tiếp theo ra xét :

$\sqrt{6-2\sqrt{5}}$

Xét hệ số $2cd$ là $2\sqrt{5}=2.\sqrt{5}.1$  thì $c^2+d^2=6$ thoả

thay vào bài toán ta được :

$\sqrt{6-2\sqrt{5}}=\sqrt{5-2\sqrt{5}+1}=\sqrt{(\sqrt{5}-1)^2}=\sqrt{5}-1$

Vậy :

$B=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{5}+1}=1$

Một số cách giải các bài toán căn bậc 2 :

ví dụ 3: Rút gọn biểu thức :

$A=\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}-\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}$

Giải: ĐKXĐ: $x\geq \dfrac{1}{2}$

Cách 1: Ta nhân thêm $\sqrt{2}$ vào biểu thức để tạo hằng đẳng thức. Tai sao?

Ở đây ta thấy có hệ số $cd$ chứ chưa có hệ số $2cd$ vì thế ta nghĩ đến việc nhân thêm $\sqrt{2}$ vào biểu thức

Xét :

$\sqrt{2}A=\sqrt{2x+2\sqrt{2x-1}}-\sqrt{2x-\sqrt{2x-1}}$

$\sqrt{2}A=\sqrt{2x-1+2\sqrt{2x-1}+1}-\sqrt{2x-1-\sqrt{2x-1}+1}$

$\sqrt{2}A=\sqrt{(\sqrt{2x-1}+1)^2}-\sqrt{(\sqrt{2x-1}-1)^2}=\sqrt{2x-1}+1-\left | \sqrt{2x-1}-1 \right |$

Xét trường hợp để phá trị tuyệt đối:

+Xét $x\geq 1$ thì $\left | \sqrt{2x-1}-1 \right |=\sqrt{2x-1}-1$

thì $\sqrt{2}A=\sqrt{2x-1}+1-(\sqrt{2x-1}-1)=2\Rightarrow A=\sqrt{2}$

+Xét $\dfrac{1}{2}\leq x\leq 1$

thì $\sqrt{2}A=\sqrt{2x-1}+1-(1-\sqrt{2x-1})=2\sqrt{2x-1}\Rightarrow A=\sqrt{4x-2}$

Cách 2:  Đặt vế căn nhỏ làm ẩn phụ:

Xét :

 $A=\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}-\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}$

Đặt $\sqrt{2x-1}=t\Rightarrow t^2=2x-1\Rightarrow x=\dfrac{t^2+1}{2}$

$A=\sqrt{\dfrac{t^2+1}{2}+t}-\sqrt{\dfrac{t^2+1}{2}-t}$

$A=\sqrt{\dfrac{(t+1)^2}{2}}-\sqrt{\dfrac{(t-1)^2}{2}}$

$A=\dfrac{t+1}{\sqrt{2}}-\dfrac{\left | t-1 \right |}{\sqrt{2}}$

Xét $t\geq 1$ thì 

$A=\dfrac{t+1}{\sqrt{2}}-\dfrac{t-1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$

Xét $t< 1$ thì :

$A=\dfrac{t+1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1-t}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}t=\sqrt{4x-2}$

Cách 3: Bình phương 2 vế :

 $A=\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}-\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}$

$A^2=x+\sqrt{2x-1}+x-\sqrt{2x-1}-2\sqrt{x^2-(\sqrt{2x-1})^2}$

$A^2=2x-2\left | x-1 \right |$

Xét $x\geq 1$ thì $A^2=2x-2(x-1)=2$ mà A>0 nên $A=\sqrt{2}$

Xét $x< 1$ thì $A^2=2x-2(1-x)=4x-2$ nên $A=\sqrt{4x-2}$

II.Căn bậc ba;

Một số cách phân tích:

Cách 1 : Xét ví dụ : 

$A=\sqrt[3]{44+18\sqrt{6}}$

Nhận xét rằng A phải viết được dưới dạng $A=\sqrt[3]{(a+b)^{3}}\Rightarrow A^{3}=(a+b)^{3}=a(a^{2}+3b^{2})+b(b^{2}+3a^{2})$

$\Rightarrow 44+18\sqrt{6}=a(a^{2}+3b^{2})+b(b^{2}+3a^{2})$

Ta cứ lấy giá trị sau : $18\sqrt{6}=a(a^{2}+3b^{2})\Rightarrow \left\{\begin{matrix} & a=\sqrt{6} & \\ & a^{2}+3b^{2}=18 & \end{matrix}\right. \Rightarrow a=\sqrt{6},b=2$ Suy ra $A=2+\sqrt{6}$

Cách 2 :$\sqrt[3]{a+\sqrt{b}}$=$\sqrt[3]{(c+\sqrt{d})^3}$=$c+\sqrt{d}$

Giải phương trình $3c(\sqrt[3]{a+\sqrt{b}}-c)^2+c^3=a$

=> tìm được $c$ sau đó tìm $d$

Một số cách giải các bài toán căn bậc 3 :

ví dụ 4: Rút gọn :

$A=\sqrt[3]{44+18\sqrt{6}}+\sqrt[3]{44-18\sqrt{6}}$

Cách 1: Xét 

$A^3=44+18\sqrt{6}+44-18\sqrt{6}+3.A.\sqrt[3]{44^2-(18\sqrt{6})^2}=88+3.A.-2$

$A^3+6A-88=0$

$(A^2+4A+22)(A-4)=0$

Vậy: 

$A=4$

Cách 2: Rút gọn từng vế trong căn:

$\sqrt[3]{44+18\sqrt{6}}=2+\sqrt{6}$ ; $\sqrt[3]{44+18\sqrt{6}}=2-\sqrt{6}$ nên $A=4$

III. Bài tập áp dụng:

 Rút gọn các biểu thức sau :

$A=\dfrac{2\sqrt{3+\sqrt{5-\sqrt{13+\sqrt{48}}}}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$

$B=\dfrac{(5+2\sqrt{6})(49-20\sqrt{6})\sqrt{5-2\sqrt{6}}}{9\sqrt{3}-11\sqrt{2}}$

$C=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+5\sqrt{48-10\sqrt{7+4\sqrt{3}}}}}$

$D=(\sqrt{3}-1)\sqrt{6+2\sqrt{2}.\sqrt{3-\sqrt{\sqrt{2}+\sqrt{12}+\sqrt{18-\sqrt{128}}}}}$