$\dfrac{\tan x}{1+\tan y.\tan z}+\dfrac{\tan y}{1+\tan z.\tan t}+\dfrac{\tan z}{1+\tan t.\tan x}+\dfrac{\tan t}{1+\tan x.\tan y}=2$

Bài toán:
Tìm các góc $x,y,z,t$ biết
$\left\{\begin{matrix}0<x,y,z,t<\dfrac{\pi}{2},\tan x+\tan y+\tan z+\tan t=4  &  & \\ \dfrac{\tan x}{1+\tan y.\tan z}+\dfrac{\tan y}{1+\tan z.\tan t}+\dfrac{\tan z}{1+\tan t.\tan x}+\dfrac{\tan t}{1+\tan x.\tan y}=2  &  &  \end{matrix}\right.$.

(Đề thi cuối học kì 1 lớp 11 trường THPT Nguyễn Du, Thái Bình, năm học 2015-2016)

Lời giải:

$\cos \dfrac{A-B}{2}+\cos \dfrac{B-C}{2}+\cos \dfrac{C-A}{2}\le \cos \left [ k\left (A-\dfrac{\pi}{3}\right ) \right ]+\cos \left [ k\left (B-\dfrac{\pi}{3}\right ) \right ]+\cos \left [ k\left (C-\dfrac{\pi}{3}\right ) \right ]$

Bài toán:

Cho tam giác $ABC$, $k\in \left [ 0;\dfrac{3}{4} \right ]$

Cmr:

$\cos \dfrac{A-B}{2}+\cos \dfrac{B-C}{2}+\cos \dfrac{C-A}{2}\le \cos \left [ k\left (A-\dfrac{\pi}{3}\right ) \right ]+\cos \left [ k\left (B-\dfrac{\pi}{3}\right ) \right ]+\cos \left [ k\left (C-\dfrac{\pi}{3}\right ) \right ]$

(Đề thi KS lớp 11 trường THPT Nguyễn Du, Thái Bình, năm học 2015-2016)