Cho ngũ giác lồi $MNPQR$. Hai góc ở đỉnh $N$ và $R$ bằng $90$ độ và $\widehat{NMP}=\widehat{RMQ}$. Gọi $A$ là giao điểm của $NQ$ và $PR$. Chứng minh $MA$ vuông góc với $NR$.

Bài toán: Cho ngũ giác lồi $MNPQR$. Hai góc ở đỉnh $N$ và $R$ bằng $90$ độ và $\widehat{NMP}=\widehat{RMQ}$. Gọi $A$ là giao điểm của $NQ$ và $PR$. Chứng minh $MA$ vuông góc với $NR$.

Lời giải:

Kẻ $RF\perp NQ; NG\perp RP; MD\perp FR; ME\perp GN$

Ta có: 

$$\Delta RFQ\sim \Delta MDR\Rightarrow \dfrac{RF}{MD}=\dfrac{RQ}{RM}$$

Tương tự ta có: $$\dfrac{ME}{NG}=\dfrac{MN}{PN}$$

$$\Delta MRQ\sim \Delta MNP\Rightarrow \dfrac{RQ}{RM}=\dfrac{PN}{MN}\Rightarrow \dfrac{RQ}{RM}.\dfrac{MN}{PN}=1$$

Áp dụng ba đẳng thức trên vào đẳng thức sau ta có:

$\Delta RFA\sim \Delta NGA\Rightarrow \dfrac{AF}{AG}=\dfrac{RF}{NG}=\dfrac{RF}{MD}.\dfrac{ME}{NG}.\dfrac{MD}{ME}=\dfrac{RQ}{RM}.\dfrac{MN}{PN}.\dfrac{MD}{ME}=\dfrac{MD}{ME}$

Vậy ta có: $\dfrac{AF}{AG}=\dfrac{MD}{ME}$

hay $\dfrac{MD}{FA}=\dfrac{ME}{GA}~(*)$ 

Lấy $RF\cap MA\equiv H;NG\cap MA\equiv H'$

Có: $\dfrac{MH}{AH}=\dfrac{MD}{FA}=\dfrac{ME}{GA}=\dfrac{MH'}{AH'}$ (do $(*)$)

$\Rightarrow H\equiv H'$

Vậy $A$ là trực tâm tam giác $HRN$

Vậy $MA$ vuông góc với $RN$.

$OH^2 = 9R^2 - a^2 -b^2 - c^2 $

Bài toán:

Cho tam giác $ABC$ có 3 cạnh là $a,b,c$, trực tâm $H$, $O$ và $R$ theo thứ tự là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. Chứng minh rằng:

$$OH^2 = 9R^2 - a^2 -b^2 - c^2 $$

Lời giải:

Cho tam giác cân có góc ở đỉnh bằng $20^o$. Cạnh đáy có độ dài là $a$, cạnh bên có độ dài là $b$. Cmr: $a^3+b^3=3ab^2$

Bài toán:

Cho tam giác cân có góc ở đỉnh bằng $20^o$. Cạnh đáy có độ dài là $a$, cạnh bên có độ dài là $b$.

Cmr: $a^3+b^3=3ab^2$

Cho lục giác $ABCDEF$ có các cạnh đối song song. Gọi $H;K$ là hình chiếu của $A;B$ trên $CE;DF$. Cm: $\frac{DF}{CE}=\frac{AH}{BK}$

Bài toán: Cho lục giác $ABCDEF$ có các cạnh đối song song. Gọi $H;K$ là hình chiếu của $A;B$ trên $CE;DF$. Cm: $\frac{DF}{CE}=\frac{AH}{BK}$
Lời giải:

$AD\cap BE\equiv M;~~FC\cap AD\equiv N;~~BE\cap CF\equiv P$

Cho tam giác $ABC$. $D;E;F$ lần lượt thuộc cạnh $BC;CA;AB$. $AD\cap CF\equiv M;AD\cap BE\equiv N;BE\cap CF\equiv P$ Biết $S_{MNP}=S_{AMF}=S_{BDN}=S_{CPE}=1$. Tính $S_{ABC}$

Bài toán: Cho tam giác $ABC$. $D;E;F$ lần lượt thuộc cạnh $BC;CA;AB$. $AD\cap CF\equiv M;AD\cap BE\equiv N;BE\cap CF\equiv P$

Biết $S_{MNP}=S_{AMF}=S_{BDN}=S_{CPE}=1$
Tính $S_{ABC}$

Lời giải:

Có: $S_{MNP}=S_{CPE}\Rightarrow S_{MNC}=S_{CEN}\Rightarrow ME//CN$

Cho tứ giác lồi $ABCD$, các cặp cạnh đối $AB;CD$ cắt nhau tại $P$ và $BC$ cắt $AD$ tại $Q$. Cmr: Đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ABQ;BCP;DCQ;ADP$ cắt nhau tại một điểm.

Bài toán:
Cho tứ giác lồi $ABCD$, các cặp cạnh đối $AB;CD$ cắt nhau tại $P$ và $BC$ cắt $AD$ tại $Q$. Cmr: 
Đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ABQ;BCP;DCQ;ADP$ cắt nhau tại một điểm.

Cmr: $\dfrac{m_a}{h_a}+\dfrac{m_b}{h_b}+\dfrac{m_c}{h_c}\leq \dfrac{R+r}{r}$

Bài toán:

Cho tam giác nhọn ABC. Gọi $h_a, h_b, h_c$ lần lượt là các đường cao và $m_a, m_b, m_c$ lần lượt là trung tuyến của các cạnh BC, CA, AB; R và r lần lượt là bán kính của các đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ABC. Chứng minh rằng :

$$\dfrac{m_a}{h_a}+\dfrac{m_b}{h_b}+\dfrac{m_c}{h_c}\leq \dfrac{R+r}{r}$$

Cho đường tròn (O; 3cm) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Gọi M là điểm tùy ý thuộc đoạn OC ( M khác O và C). Tia BM cắt cắt đường tròn (O) tại N.

Bài toán:

Cho đường tròn (O; 3cm) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Gọi M là điểm tùy ý thuộc đoạn OC ( M khác O và C). Tia BM cắt cắt đường tròn (O) tại N.

            1) Chứng minh AOMN là một tứ giác nội tiếp.

            2) Chứng minh ND là phân giác của $\widehat{ANB}$.

            3) Tính: $\sqrt{BM.BN}$

            4) Gọi E và F lần lượt là hai điểm thuộc các đường thẳng AC và AD sao cho M là trung điểm của EF. Nếu cách xác định các điểm E, F và chứng minh rằng tổng (AE + AF) không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.

Hình vẽ:

Cho đường tròn tâm $O$, đường kính $AB$. Lấy $C$ thuộc $(O)$ $(C$ không trùng với $A;B)$, $M$ là điểm chính giữa cung nhỏ $AC$. Các đường thẳng $AM$ và $BC$ cắt nhau tại $I$, các đường thẳng $AC$ và $BM$ cắt nhau tại $K$.

Bài toán:

Cho đường tròn tâm $O$, đường kính $AB$. Lấy $C$ thuộc $(O)$ $(C$ không trùng với $A;B)$, $M$ là điểm chính giữa cung nhỏ $AC$. Các đường thẳng $AM$ và $BC$ cắt nhau tại $I$, các đường thẳng $AC$ và $BM$ cắt nhau tại $K$.

$a/$ Cm: $\widehat{ABM}=\widehat{IBM}$ và $\triangle ABI $ cân.

$b/$ Cm tứ giác $MICK$ nội tiếp đường tròn.

$c/$ Đường thẳng $BM$ cắt tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$ ở $N$. Cm đường thẳng $NI$ là tiếp tuyến của $(B;BA)$ và $NI\perp MO$.

$d/$ Đường tròn ngoại tiếp $\triangle BIK$ cắt đường tròn $(B;BA)$ tại $D$ $(D$ không trùng với $I)$. Cm: $A;C;D$ thẳng hàng.

Hình vẽ: