Cho tam giác cân có góc ở đỉnh bằng $20^o$. Cạnh đáy có độ dài là $a$, cạnh bên có độ dài là $b$. Cmr: $a^3+b^3=3ab^2$

Bài toán:

Cho tam giác cân có góc ở đỉnh bằng $20^o$. Cạnh đáy có độ dài là $a$, cạnh bên có độ dài là $b$.

Cmr: $a^3+b^3=3ab^2$

Lời giải:

Dựng $\angle CBx=20^o$

Hạ $AH$ vuông góc $Bx$ tại $H$

$D$ là giao điểm của $Bx$ và $AC$

Ta có:

$\dfrac{BH}{AB}=cos(60^o)=\dfrac{1}{2} \Rightarrow BH=\dfrac{b}{2}$

Dễ chứng minh $\Delta BDC$ cân 

$\Rightarrow BD=BC=a$

$\Rightarrow DH=BH-DH=\dfrac{b}{2}-a=\dfrac{b-2a}{2}$

Áp dụng Pythagore vào $\Delta ABH$ tính được $AH^2=\dfrac{3b^2}{4}$

Vậy $AD^2=b^2-ab+a^2$                                                        $(1)$

Mà $\Delta ABC \sim \Delta BCD$

$\Rightarrow \dfrac{DC}{BC}=\dfrac{BD}{AC}$

$\Rightarrow CD=\dfrac{a^2}{b}$

$\Rightarrow AD=b-\dfrac{a^2}{b}$

$\Rightarrow AD^2= b^2 - 2b\dfrac{a^2}{b}+ \dfrac{a^4}{b^2}$  $(2)$

Từ $(1)$;$(2)$ có $3a^2-ab-\dfrac{a^4}{b^2}=0$ 

Nhân 2 vế với $b^2$ rồi chia cho $a$ ta có đpcm.