$A=\dfrac{(x+y+1)^2}{xy+x+y}+\dfrac{xy+x+y}{(x+y+1)^2}$

Bài toán:Tìm Min $$A=\dfrac{(x+y+1)^2}{xy+x+y}+\dfrac{xy+x+y}{(x+y+1)^2}$$



Lời giải:
Đặt $t=\dfrac{(x+y+1)^2}{xy+x+y}$
Ta đã biết bđt quen thuộc là $x^2+y^2+1\ge xy+x+y$
Vậy nên 
Ta sẽ chứng minh $t\geq 3$
Thật vậy: $$t\geq 3\Leftrightarrow 2(x+y+1)^2\geq 6(x+y+xy)$$
$$\Leftrightarrow (x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2\geq 0$$
Điều này luôn đúng.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=1$
Ta có: $A=\dfrac{8t}{9}+\left(\dfrac{t}{9}+\dfrac{1}{t}\right)\geq \dfrac{24}{9}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{10}{3}$
Dấu $"="$ xảy ra khi: $t=3\Leftrightarrow x=y=1$