Phương pháp UCT cho hệ phương trình (Phần 2)

Phương pháp UCT cho hệ phương trình (Phần 2)

Tác giả: nthoangcute

Phần 1: http://truongviethoang99.blogspot.com/2014/08/phuong-phap-uct-giai-he-phuong-trinh.html#more

$\bigstar$ Ví dụ 1:

$\left\{\begin{matrix}x^3+y^2=(x-y)(xy-1)~ (1)  &  & \\ x^3-x^2+y+1=xy(x-y+1)~ (2)  &  &  \end{matrix}\right.$

Đánh giá:- Bậc của $x$ cao hơn bậc của $y$
- Các biến $x,y$ không độc lập với nhau
- Bậc cao nhất của $x$ và $y$ ở hai phương trình là như nhau.
Vì bậc $x$ cao hơn nên ta viết lại 2 pt theo ẩn $y$ (Để dễ tính toán)
$\left\{\begin{matrix}y^2(x+1)-y(x^2+1)+x^3+x=0  &  & \\ y^2x-y(x^2+x-1)+x^3-x^2+1=0  &  &  \end{matrix}\right.$
Chúng ta nghĩ tới việc phân tích 1 trong 2 pt trên thành nhân tử, nhưng rất tiếc $\Delta $ của nó không chính phương.

Ta sẽ tìm $x$ để 2 pt trên là tương đương, tức là $PT(1)$ gấp $k$ lần $PT(2)$
$\dfrac{x+1}{x}=\dfrac{x^2+1}{x^2+x-1}=\dfrac{x^3+x}{x^3-x^2+1}=k$
$\Leftrightarrow x=1$ và $k=2$

Tức là $2.PT(2)-PT(1)=0$
Từ đó ta có lời giải bài toán.


Lời giải:

$2.PT(2)-PT(1)\Leftrightarrow (x-1)(y^2-(x+3)y+x^2-x-2)=0$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix}x=1  &  & \\ y^2-(x+3)y+x^2-x-2=0  &  &  \end{bmatrix}$

TH1: $x=1$ cho hệ vô nghiệm.
TH2: $y^2-(x+3)y+x^2-x-2=0$
Ta sẽ phân tích pt trên thành nhân tử, nhưng rất tiếc $\Delta $ của nó không chính phương.

Kết hợp với $PT(1)$ ta có:
$\left\{\begin{matrix}y^2-(x+3)y+x^2-x-2=0~ (3)  &  & \\ y^2(x+1)-y(x^2+1)+x^3+x=0  &  &  \end{matrix}\right.$
Bậc của $y$ ở 2 pt trên như nhau nên ta sẽ làm tương tự như trên, để 2 pt tương đương thì $x=\dfrac{-1}{2}$ và $k=2$
$2.PT(2)-PT(1)\Leftrightarrow (2x+1)(y^2-(x-1)y+x^2-x+2)=0$
+ Với $x=\dfrac{-1}{2}\Rightarrow y=\dfrac{5\pm 3\sqrt{5}}{4}$
+ Với $y^2-(x-1)y+x^2-x+2=0$ (cũng không thể phân tích thành nhân tử).
Kết hợp với $(3)$ ta được:
$\left\{\begin{matrix}y^2-(x-1)y+x^2-x+2=0  &  & \\ y^2-(x+3)y+x^2-x-2=0  &  &  \end{matrix}\right.$
Hệ này thì ta thấy rõ $k=1$ rồi
Trừ theo vế 2 pt sẽ ra $y=-1$, không tìm được $x$ (Vô nghiệm).

Kết luận ...

$\bigstar $  Ví dụ 2:
$\left\{\begin{matrix}x^3+3xy^2=-49  &  & \\ x^2-8xy+y^2=8y-17x  &  &  \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}3xy^2+x^3+49=0  &  & \\ y^2+8(x+1)y+x^2-17x=0  &  &  \end{matrix}\right.$
Hệ này ta không tìm được $x$ bằng phương pháp trên, nhưng bằng trực quan ta thử $x=-1$, vì khi đó $PT(2)$ mất hệ số $y$, 2 pt có thể sẽ tương đương.
Thay $x=-1$ ta được 
$\left\{\begin{matrix}-3y^2+48=0  &  & \\ y^2-16=0  &  &  \end{matrix}\right.$
Xong, $k=-3$.
Lời giải:
$PT(1)+3.PT(2)\Leftrightarrow (x+1)((x+1)^2+3(y-4)^2)=0$
...

Bài tập:
1) $\left\{\begin{matrix}y^3+3xy^2=-28  &  & \\ x^2-6xy+y^2=6x-10y  &  &  \end{matrix}\right.$
2) $\left\{\begin{matrix}6x^2y+2y^3+35=0  &  & \\ 5x^2+5y^2+2xy+5x+13y=0  &  &  \end{matrix}\right.$
3) $\left\{\begin{matrix}x^3+5xy^2=-35  &  & \\ 2x^2-5xy-5y^2+x+10y-35=0  &  &  \end{matrix}\right.$
4) $\left\{\begin{matrix}x^3+3xy^2=6xy-3x-49  &  & \\ x^2-8xy+y^2=10y-25x-9  &  &  \end{matrix}\right.$

to be continued...