$\sqrt{x^2-4x+4}+\sqrt{4x^2+4x+1}=x+m$

Bài toán:
Dùng đồ thị biện luận theo $m$ số nghiệm của pt:
$$\sqrt{x^2-4x+4}+\sqrt{4x^2+4x+1}=x+m$$

$\dfrac{2x-2+\sqrt{3x-2}}{\sqrt{8x^2-2x-2}-1}\geq 1$

Bài toán:Giải bất phương trình:
$$\dfrac{2x-2+\sqrt{3x-2}}{\sqrt{8x^2-2x-2}-1}\geq 1$$

Bộ Đề thi - Đáp án

Đề thi - Đáp án
I.Đề thi HSG THCS cấp Quốc gia
(Chú ý khi vào link nếu không thấy tài liệu thì xóa chữ "/forum" ở link đi và vào lại là được)

Thi thử KHTN đợt $5$ ( vòng $2$ ) năm học 2014-2015

                                                              Thi thử KHTN đợt $5$ ( vòng $2$ ) 

Câu $1$ : Cho các số thực $x,y$ thỏa mãn đẳng thức

                                              $x^{3}+y^{3}+(x+y)^{3}+30xy=2000$

Chứng minh $x+y=10$

Câu $2$ : a) Tìm số tự nhiên $n$ thỏa mãn $n^{4}+n^{3}+n^{2}+n+1$ là số chính phương .

                 b) Cho $(a+b)(b+c)(a+c)=1$ và $a,b,c>0$ . Tìm max $ab+bc+ac$

Câu $3$ : Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ . Gọi $P$ là một điểm trong tam giác sao cho $AP$ là phân giác góc $BAC$ . Kẻ $PF,PE$ lần lượt vuông góc với $AB,AC$ . Kẻ đường vuông góc với $AP$ tại $A$ cắt $(O)$ tại $D$ , kẻ $DP$ cắt $EF$ tại $Q$

Gọi $M$ là trung điểm $BC$.

a) Chứng minh $MQ$ song song $AP$

b) Gọi $(K),(L)$ là các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $BQF$ và $CQE$ . Chứng minh rằng $(K)$ và $(L)$ cắt nhau tại một điểm trên $(O)$

c) Kéo dài $QM$ cắt $(K),(L)$ lần lượt tại $S,T$ . Chứng minh rằng trung trực $ST$ và $AO$ giao nhau tại một điểm trên $(O)$ 

Câu $4$ : Chứng minh với mọi số tự nhiên $n$ thì tồn tại các số nguyên dương phân biêt .$a_{1},a_{2},........a_{n}$ mà với mọi $1\leq i < j \leq n$ mà $a_{i}+a_{j}$ chia hết cho $a_{j}-a_{i}$

Thảo luận tại đây

$x\left ( 9\sqrt{1+x^2}+13\sqrt{1-x^2} \right )\leq 16$

Bài toán:
Cho $0\leq x\leq 1$.
Cmr: $$x\left ( 9\sqrt{1+x^2}+13\sqrt{1-x^2} \right )\leq 16$$

$\sqrt{2x^3+4x^2+4x}-\sqrt[3]{16x^3+12x^2+6x-3}\geq 4x^4+2x^3-2x-1$

Bài toán: 
Giải bất phương trình:
$$\sqrt{2x^3+4x^2+4x}-\sqrt[3]{16x^3+12x^2+6x-3}\geq 4x^4+2x^3-2x-1$$

Cách phân tích căn bậc 2 , bậc 3

Cách phân tích căn bậc 2 , bậc 3

diendantoanhoc.net

I. Căn bậc 2

Khi phân tích căn bậc 2 , ta thường chuyển về dạng $\sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{(c+d)^2}$ để từ đó làm mất dấu căn lớn ở ngoài 

tức là ta sẽ đi tạo thành hằng đẳng thức $\sqrt{(c+d)^2}=\sqrt{c^2+2cd+d^2}$. Thử các ví dụ sau :

Tổng hợp Đề thi HSG lớp 9 các tỉnh, thành phố năm học 2013-2014

Mình xin được tổng hợp lại một số đề thi HSG tỉnh thành phố năm 2013-2014.  Topic sẽ được cập nhật thường xuyên !

(Chú ý: Nếu vào link không thấy tài liệu thì hãy xóa chữ "/forum" trong đường link đi và vào lại)

$\mathbf{\boxed{1}}$ Đề Thi Học Sinh Giỏi Thành Phố Đà Nẵng 2013-2014

Chuyên đề: Phương Trình Vô Tỉ - Hệ PT

Xem toàn bộ tại đây

Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Trà Vinh năm học 2013-2014

Thủ thuật Blog

Mình xin chia sẻ một số thủ thuật blog tại blogspot sau:
http://caocongkien.blogspot.com/search/label/TH%E1%BB%A6%20THU%E1%BA%ACT%20BLOG
Thủ thuật ở đây rất hay và bổ ích.

$a^4+b^4+c^4\geq a^3+b^3+c^3$

Bài toán:

Cho $a+b+c=3$

Cmr: $a^4+b^4+c^4\geq a^3+b^3+c^3$

  

Phương trình $x^2+ax+1=0$ và $x^2+bx+c=0$ có 1 nghiệm chung đồng thời là nghiệm của phương trình $x^2+x+a=0$ và $x^2+cx+b=0$ có một nghiệm chung

Bài toán:

Cho $a,b,c$ là các  số thực thoả mãn a khác 0 và khác b và

phương trình $x^2+x+a=0$ và $x^2+cx+b=0$ có một nghiệm chung đồng thời là nghiệm của phương trình $x^2+ax+1=0$ và $x^2+bx+c=0$ có 1 nghiệm chung

Tính $a+b+c$

$\left\{\begin{matrix} a+b+c=0\\ \alpha+\beta+\gamma=0\\ \dfrac{\alpha}{a}+\dfrac{\beta}{b}+\dfrac{\gamma}{c}=0 \end{matrix}\right.$

Bài toán:

Cho các số $a;b;c;\alpha;\beta;\gamma$ thỏa mãn hệ:

$\left\{\begin{matrix} a+b+c=0\\ \alpha+\beta+\gamma=0\\ \dfrac{\alpha}{a}+\dfrac{\beta}{b}+\dfrac{\gamma}{c}=0 \end{matrix}\right.$

Tính giá trị biểu thức $P=\alpha a^2+\beta b^2 +\gamma c^2$

Cmr: $\dfrac{m_a}{h_a}+\dfrac{m_b}{h_b}+\dfrac{m_c}{h_c}\leq \dfrac{R+r}{r}$

Bài toán:

Cho tam giác nhọn ABC. Gọi $h_a, h_b, h_c$ lần lượt là các đường cao và $m_a, m_b, m_c$ lần lượt là trung tuyến của các cạnh BC, CA, AB; R và r lần lượt là bán kính của các đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ABC. Chứng minh rằng :

$$\dfrac{m_a}{h_a}+\dfrac{m_b}{h_b}+\dfrac{m_c}{h_c}\leq \dfrac{R+r}{r}$$

$A=(a+b+1)(a^2+b^2)+\dfrac{4}{a+b}$

Bài toán:Cho $a,b>0$ và $ab=1$. Tìm $Min$:

$$A=(a+b+1)(a^2+b^2)+\dfrac{4}{a+b}$$

$P=\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{(a+b+c)^3}{abc}$

Bài toán:
Cho $a;b;c>0$. Tìm $Min$:
$$P=\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{(a+b+c)^3}{abc}$$

Cho đường tròn (O; 3cm) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Gọi M là điểm tùy ý thuộc đoạn OC ( M khác O và C). Tia BM cắt cắt đường tròn (O) tại N.

Bài toán:

Cho đường tròn (O; 3cm) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Gọi M là điểm tùy ý thuộc đoạn OC ( M khác O và C). Tia BM cắt cắt đường tròn (O) tại N.

            1) Chứng minh AOMN là một tứ giác nội tiếp.

            2) Chứng minh ND là phân giác của $\widehat{ANB}$.

            3) Tính: $\sqrt{BM.BN}$

            4) Gọi E và F lần lượt là hai điểm thuộc các đường thẳng AC và AD sao cho M là trung điểm của EF. Nếu cách xác định các điểm E, F và chứng minh rằng tổng (AE + AF) không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.

Hình vẽ:

Cho đường tròn tâm $O$, đường kính $AB$. Lấy $C$ thuộc $(O)$ $(C$ không trùng với $A;B)$, $M$ là điểm chính giữa cung nhỏ $AC$. Các đường thẳng $AM$ và $BC$ cắt nhau tại $I$, các đường thẳng $AC$ và $BM$ cắt nhau tại $K$.

Bài toán:

Cho đường tròn tâm $O$, đường kính $AB$. Lấy $C$ thuộc $(O)$ $(C$ không trùng với $A;B)$, $M$ là điểm chính giữa cung nhỏ $AC$. Các đường thẳng $AM$ và $BC$ cắt nhau tại $I$, các đường thẳng $AC$ và $BM$ cắt nhau tại $K$.

$a/$ Cm: $\widehat{ABM}=\widehat{IBM}$ và $\triangle ABI $ cân.

$b/$ Cm tứ giác $MICK$ nội tiếp đường tròn.

$c/$ Đường thẳng $BM$ cắt tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$ ở $N$. Cm đường thẳng $NI$ là tiếp tuyến của $(B;BA)$ và $NI\perp MO$.

$d/$ Đường tròn ngoại tiếp $\triangle BIK$ cắt đường tròn $(B;BA)$ tại $D$ $(D$ không trùng với $I)$. Cm: $A;C;D$ thẳng hàng.

Hình vẽ:

$a+b^2+c^3-ab-bc-ca\leq 1$

Bài toán:

Cho $a;b;c\in \left [ 0;1 \right ]$. Cmr: $a+b^2+c^3-ab-bc-ca\leq 1$

$\left\{\begin{matrix} x^2+xy-4x=-6\\y^2+xy=-1 \end{matrix}\right.$

Bài toán:

Giải hệ phương trình

$$\left\{\begin{matrix} x^2+xy-4x=-6\\y^2+xy=-1 \end{matrix}\right.$$

$P=2(a^2+b^2)-6\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)+9\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\right)$

Bài toán:

Cho $a,b$ là các số thực dương thay đổi sao cho $a+b=2$

Tìm giá trị nhỏ nhất  của biểu thức $$P=2(a^2+b^2)-6\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)+9\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\right)$$

Tìm Min: $S=\dfrac{a}{c+b-a}+\dfrac{4b}{a+c-b}+\dfrac{9c}{a+b-c}$

Bài toán:
Cho tam giác $ABC$ có chu vi bằng $2$. Kí hiệu $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh.

Tìm Min:
$S=\dfrac{a}{c+b-a}+\dfrac{4b}{a+c-b}+\dfrac{9c}{a+b-c}$

$(a+b)^{2}(b+c)^{2}\geq 4abc(a+b+c)$

Bài toán:

Cmr: $(a+b)^{2}(b+c)^{2}\geq 4abc(a+b+c)$ với mọi $a,b,c$

Tìm Min $M=\sqrt{x^2+2y^2-6x+4y+11}+\sqrt{x^2+3y^2+2x+6y+4}$

Bài toán:

Tìm Min $M=\sqrt{x^2+2y^2-6x+4y+11}+\sqrt{x^2+3y^2+2x+6y+4}$

Cho $a+b;2a$ và $x$ là các số nguyên. Cmr: $y=ax^2+bx+2012$ nhận giá trị nguyên

Bài toán:

Cho $a+b;2a$ và $x$ là các số nguyên. Cmr: $y=ax^2+bx+2012$ nhận giá trị nguyên

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+2011}+\sqrt{y+2012}+\sqrt{z+2013} &=\sqrt{y+2011}+\sqrt{z+2012}+\sqrt{x+2013} \\ \sqrt{y+2011}+\sqrt{z+2012}+\sqrt{x+2013}&=\sqrt{z+2011}+\sqrt{x+2012}+\sqrt{y+2013} \end{matrix}\right.$

Bài toán: 

Cho các số thực $x,y,z$ thoả mãn:

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+2011}+\sqrt{y+2012}+\sqrt{z+2013} &=\sqrt{y+2011}+\sqrt{z+2012}+\sqrt{x+2013} \\ \sqrt{y+2011}+\sqrt{z+2012}+\sqrt{x+2013}&=\sqrt{z+2011}+\sqrt{x+2012}+\sqrt{y+2013} \end{matrix}\right.$

Chứng minh: $x=y=z$

Tìm $m$ để với mọi $x>9$ ta có: $m(\sqrt{x}-3)P>x+1$

Bài toán:

Cho $P=(\dfrac{4\sqrt{x}}{2+\sqrt{x}}+\dfrac{8x}{4-x}):(\dfrac{\sqrt{x}-1}{x-2\sqrt{x}}-\dfrac{2}{\sqrt{x}})$

Tìm $m$ để với mọi $x>9$ ta có: $m(\sqrt{x}-3)P>x+1$