$\dfrac{2x-2+\sqrt{3x-2}}{\sqrt{8x^2-2x-2}-1}\geq 1$

Bài toán:Giải bất phương trình:
$$\dfrac{2x-2+\sqrt{3x-2}}{\sqrt{8x^2-2x-2}-1}\geq 1$$



Lời giải:

Điều kiện: $x\geq \dfrac{2}{3}$ và $x\neq \dfrac{3}{4}$.

TH1: Nếu $x > \dfrac{3}{4}$ta có $\sqrt {8{x^2} - 2x - 2}  - 1 > 0$

bất phương trình tương đương với:

$2x - 2 + \sqrt {3x - 2}  \ge \sqrt {8{x^2} - 2x - 2}  - 1 \Leftrightarrow 2x - 1 + \sqrt {3x - 2}  \ge \sqrt {8{x^2} - 2x - 2}$.

Ta có: $2x - 1 + \sqrt {3x - 2}  \le \sqrt {2\left( {{{\left( {2x - 1} \right)}^2} + 3x - 2} \right)}  = \sqrt {8{x^2} - 2x - 2}$.

Vì vậy dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \dfrac{{2x - 1}}{1} = \dfrac{{\sqrt {3x - 2} }}{1} \Leftrightarrow x = 1$.

TH2: Nếu $\dfrac{2}{3} \le x < \dfrac{3}{4}$ ta có $\sqrt {8{x^2} - 2x - 2}  - 1 < 0$

bất phương trình tương đương với:

$2x - 2 + \sqrt {3x - 2}  \le \sqrt {8{x^2} - 2x - 2}  - 1 \Leftrightarrow 2x - 1 + \sqrt {3x - 2}  \le \sqrt {8{x^2} - 2x - 2}$ (theo trên ta có luôn đúng).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left[ {\dfrac{2}{3};\dfrac{3}{4}} \right) \cup \left\{ 1 \right\}$.