Bài toán:
Cho $a,b,c$ là các số thực thoả
mãn a khác 0 và khác b và
phương trình $x^2+x+a=0$ và $x^2+cx+b=0$
có một nghiệm chung đồng thời là nghiệm của phương trình $x^2+ax+1=0$ và
$x^2+bx+c=0$ có 1 nghiệm chung
Tính $a+b+c$
Lời giải:
Trước hết ta nhận xét rằng, do $a,b,c$ là
3 số khác nhau nên các phương trình chỉ có 1 nghiệm chung
Gọi $x_{0}$ là nghiệm chung của pt
$x^2+ax+1=0$ và $x^2+bx+c=0$
$x_{1}$ là
nghiệm chung của pt $x^2+x+a=0$ và $x^2+cx+b=0$
Ta có
$x_{0}^{2}+ax_{0}+1-\left (
x_{0}^{2}+bx_{0}+c \right )=0\Leftrightarrow \left ( a-b \right
)x_{0}=(c-1)\Leftrightarrow x_{0}=\dfrac{c-1}{a-b}$ (do $a,b,c$ là 3 số
khác nhau)
Thay vào pt $x_{0}^{2}+ax_{0}+1$ ta
có $\left ( \dfrac{c-1}{a-b} \right )^2+a.\dfrac{c-1}{a-b}+1=0\Leftrightarrow
(c-1)^2+a(c-1)(a-b)+(a-b)^2=0$ (1)
Tương tự ta có $(c-1)x_{1}=(a-b)$
nếu $c=1$ thì $a-b=0$ $\Rightarrow$ vô lí
(vì $a,b,c$ là 3 số khác nhau) $\Rightarrow$ $c\neq 1$
nên $x_{1}=\dfrac{a-b}{c-1}$
Thay vào tương tự như trên ta
có $(a-b)^2+(c-1)(a-b)+a(c-1)^2=0$ (2)
Lấy (1) - (2) ta
có $(c-1)(a-1)(a-b-c+1)=0$ (3)
Nếu $a=1$ thì pt $x^2+x+1$ vô nghiệm
nên $a\neq 1$
Suy ra (3)$\Leftrightarrow a-b=c-1$
Suy ra $x_{0}=1$
Thay vào pt $x_{0}^{2}+ax_{0}+1=0$ và
$x_{0}^{2}+bx_{0}+c=0$ ta có $\left\{\begin{matrix} a=-2 & \\
b+c=-1& \end{matrix}\right.$
Suy ra $a+b+c=-3$
_______________________
Cách khác:
Tìm ra $x_0;x_1$ để ý thấy $x_0.x_1=1$
$\Rightarrow x_0=\dfrac{1}{x_1}$ Thay vào
2 pt của 2 hệ ban đầu
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét