$P=2(a^2+b^2)-6\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)+9\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\right)$

Bài toán:

Cho $a,b$ là các số thực dương thay đổi sao cho $a+b=2$

Tìm giá trị nhỏ nhất  của biểu thức $$P=2(a^2+b^2)-6\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)+9\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\right)$$

Lời giải:

Áp dụng BĐT phụ: $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\geq \dfrac{4}{x+y}$

và BĐT Bunhiacopxki: $a^2+b^2\geq \dfrac{(a+b)^2}{2}$

$P=a^{2}+b^{2}+\left ( \dfrac{3}{a}-b \right )^{2}+\left ( \dfrac{3}{b}-a \right )^{2}$
$\geq \dfrac{(a+b)^{2}}{2}+\dfrac{\left ( \dfrac{3}{a}+\dfrac{3}{b}-a-b) \right )^{2}}{2}$
$\geq \dfrac{(a+b)^{2}}{2}+\dfrac{\left ( 3.\dfrac{4}{a+b}-(a+b) \right )^{2}}{2}$
$=10$