Cmr: $\dfrac{m_a}{h_a}+\dfrac{m_b}{h_b}+\dfrac{m_c}{h_c}\leq \dfrac{R+r}{r}$

Bài toán:

Cho tam giác nhọn ABC. Gọi $h_a, h_b, h_c$ lần lượt là các đường cao và $m_a, m_b, m_c$ lần lượt là trung tuyến của các cạnh BC, CA, AB; R và r lần lượt là bán kính của các đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ABC. Chứng minh rằng :

$$\dfrac{m_a}{h_a}+\dfrac{m_b}{h_b}+\dfrac{m_c}{h_c}\leq \dfrac{R+r}{r}$$

Lời giải:

Gọi O và I là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC

A₁ , B₁, C₁ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB

Có : AA₁ = m_a ≤ R + OA₁ ;  đẳng thức xảy ra ó AB = AC

       BB₁ = m_b ≤ R + OB₁  ; đẳng thức xảy ra ó AB = BC

       CC₁ = m_c ≤ R + OC₁  ; đẳng thức xảy ra ó AC = BC

$$\Rightarrow \dfrac{m_a}{h_a}+\dfrac{m_b}{h_b}+\dfrac{m_c}{h_c}\leq R\left ( \dfrac{1}{h_a}+\dfrac{1}{h_b}+\dfrac{1}{h_c} \right )+\left ( \dfrac{OA_1}{h_a}+\dfrac{OB_1}{h_b}+\dfrac{OC_1}{h_c} \right )(1)$$

Có: $$2S = ( a + b + c)r$$
$$\Rightarrow \dfrac{2S}{r}=a+b+c=\dfrac{2S}{{{h}_{a}}}+\dfrac{2S}{{{h}_{b}}}+\dfrac{2S}{{{h}_{c}}}$$

(với AB = c , BC = a , AC = b ) 
$$\Rightarrow \dfrac{1}{{{h}_{a}}}+\dfrac{1}{{{h}_{b}}}+\dfrac{1}{{{h}_{c}}}=\dfrac{1}{r}(2)$$     

 Vậy 
$$2S=a.OA_1+b.OB_1+c.OC_1=\dfrac{2S}{h_a}.OA_1+\dfrac{2S}{h_b}.OB_1+\dfrac{2S}{h_c}.OC_1$$

$$= 2S\left( \dfrac{O{{A}_{1}}}{{{h}_{a}}}+\dfrac{O{{B}_{1}}}{{{h}_{b}}}+\dfrac{O{{C}_{1}}}{{{h}_{c}}} \right)$$
$$\Rightarrow \dfrac{O{{A}_{1}}}{{{h}_{a}}}+\dfrac{O{{B}_{1}}}{{{h}_{b}}}+\dfrac{O{{C}_{1}}}{{{h}_{c}}}=1(3)$$      

 Từ (1),(2),(3) suy ra $$\dfrac{{{m}_{a}}}{{{h}_{a}}}+\dfrac{{{m}_{b}}}{{{h}_{b}}}+\dfrac{{{m}_{c}}}{{{h}_{c}}}\leq \dfrac{R+r}{r}$$

    Dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \bigtriangleup ABC$ đều.