$x\left ( 9\sqrt{1+x^2}+13\sqrt{1-x^2} \right )\leq 16$

Bài toán:
Cho $0\leq x\leq 1$.
Cmr: $$x\left ( 9\sqrt{1+x^2}+13\sqrt{1-x^2} \right )\leq 16$$



Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM
Ta có: $$x\left ( 9\sqrt{1+x^2}+13\sqrt{1-x^2} \right )$$
$$=\dfrac{3}{2}.3x.2\sqrt{1+x^2}+\dfrac{13}{2}.x.2\sqrt{1-x^2}$$
$$\leq \dfrac{3}{4}\left [ 9x^2+4(1+x^2) \right ]+\dfrac{13}{4}\left [ x^2+4(1-x^2) \right ]=16$$

Dấu bằng xảy ra khi:
$$\left\{\begin{matrix}3x=2\sqrt{1+x^2}  &  & \\ x=2\sqrt{1-x^2}  &  &  \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{\sqrt{5}}$$
-------------------------------------

Về các hệ số trong đề bài, ta xem bài toán tổng quát sau:
Tìm Max của
$$ax\sqrt{1+x^2}+bx\sqrt{1-x^2}$$
Lời giải:
$$ax\sqrt{1+x^2}+bx\sqrt{1-x^2}$$
$$=\dfrac{a}{m}.mx.\sqrt{1+x^2}+\dfrac{b}{n}.nx.\sqrt{1-x^2}$$
$$\leq \dfrac{a}{2m}(m^2x^2+1+x^2)+\dfrac{b}{2n}(n^2x^2+1-x^2)$$
Giờ ta chỉ cần chọn $m;n$ để VP không phụ thuộc vào $x$ (ta sẽ triệt tiêu hệ số của $x^2$, hệ số của $x^2$ là $\dfrac{am}{2};\dfrac{a}{2m};\dfrac{bn}{2};\dfrac{-b}{2n}$) và do dấu bằng của BĐT AM-GM ta có:

$$\left\{\begin{matrix}am+\dfrac{a}{m}+bn-\dfrac{b}{n}=0  &  & \\ m^2=n^2+2  &  &  \end{matrix}\right.$$

Ta thấy: $(m-n)(m+n)=2$
Chọn bất kì số đơn giản nhất ta có: $m-n=1;m+n=2$
$\Rightarrow m=\dfrac{3}{2};n=\dfrac{1}{2}$
Thay ngược lại ta có: $\dfrac{13a}{6}=\dfrac{3b}{2}$
Chọn số $a$ đẹp sao cho $b$ đẹp.
Chọn $a=9\Rightarrow b=13$
Đây chính là tham số của bài toán đầu.