$A=(a+b+1)(a^2+b^2)+\dfrac{4}{a+b}$

Bài toán:Cho $a,b>0$ và $ab=1$. Tìm $Min$:

$$A=(a+b+1)(a^2+b^2)+\dfrac{4}{a+b}$$


Lời giải 1:
Áp dụng BĐT Cô-Si có:
$$a+b\geq 2\sqrt{ab}=2$$

(Do $ab=1$)

$$\Rightarrow A\geq 3(a^{2}+b^{2})+\dfrac{4}{a+b}$$
Áp dụng BĐT BCS ($a^2+b^2\geq \dfrac{(a+b)^2}{2}$) ta có:
$$A=(a^{2}+b^{2})+(a^{2}+b^{2})+\dfrac{4}{a+b}+(a^{2}+b^{2})$$
$$\geq \dfrac{(a+b)^{2}}{2}+\dfrac{(a+b)^{2}}{2}+\dfrac{4}{a+b}+\dfrac{(a+b)^{2}}{2}$$
$$\geq 3\sqrt[3]{(a+b)^{3}}+\dfrac{(a+b)^{2}}{2}$$

 (Theo BĐT Cô-Si)

$\Rightarrow A\geq 8$ (Do $a+b\geq 2$)
______________________________________________
Lời giải 2:Ta biến đổi:
$$A=\dfrac{\left (a+b  \right )\left ( a^2+b^2 \right )}{2}+\dfrac{4}{a+b}+\dfrac{\left (a+b  \right )\left ( a^2+b^2 \right )}{2}+(a^2+b^2)$$
Áp dụng BĐT Cô si ta có:
$$\dfrac{(a+b)(a^2+b^2)}{2}+\dfrac{4}{a+b}\geq 2\sqrt{2(a^2+b^2)}$$
$$a+b\geq 2\sqrt{ab}$$
$$a^2+b^2\geq 2ab$$
$$\Rightarrow A\geq 2\sqrt{2(a^2+b^2)}+\dfrac{2\sqrt{ab}.2ab}{2}+2ab=8$$
(Do $ab=1$)
_______________________________________________
Lời giải 3:Có: $a +b \geq 2$ và $a^{2} + b^{2} \geq 2$ (Theo BĐT Cô-Si)
Biến đổi:
$$A = (a^{2}+b^{2})(a+b)+\dfrac{8}{a+b} + a^{2}+b^{2}-\dfrac{4}{a+b} $$
Áp dụng BĐT Cô-Si ta có:
$$(a^{2}+b^{2})(a+b)+\dfrac{8}{a+b}\geq 2\sqrt{8(a^{2}+b^{2})} \geq  8$$
$$a^{2}+b^{2}\geq 2ab = 2$$
$$\dfrac{-4}{a+b}\geq -2$$
$$\Rightarrow A \geq 8 + 2 - 2 = 8$$
_______________________________________________

Lời giải 4:
Có: $a^2+b^2\geq 2ab=2$
$$\Rightarrow A=(a+b+1)(a^2+b^2).\dfrac{4}{a+b}$$$$\geq 2\left [ (a+b+1)+\dfrac{2}{a+b} \right ]$$
$$=2+\left ( a+b+\dfrac{4}{a+b} \right )+\left ( a+b \right )$$
$$\geq 2+2\sqrt{(a+b).\dfrac{4}{a+b}}+2\sqrt{ab}=2+4+2=8$$
Dấu = có khi: $a=b=1$