Chuyên đề ĐA THỨC (phần IV)

Diễn đàn toán học

CHUYÊN ĐỀ VỀ ĐA THỨC 

Trần Nam Dũng

Phần I: Xem tại đây

PHẦN II: Xem tại đây

Phần III : Xem tại đây

Phần IV :Công thức nội suy Lagrange

4.1. Các ví dụ mở đầu

Ví dụ 1. Tìm tất cả các đa thức thoả mãn điều kiện $P(x)$ thoả điều kiện

$P(1)=1;P(2)=2;P(3)=4$

Lời giải: Rõ ràng nếu $P$ và $Q$ là hai đa thức thoả điều kiện của để bài thì $P(x)-Q(x)$ sẽ bằng $0$ tại các điểm $1,2,3$ và từ đó , ta có $P(x)-Q(x)=(x-1)(x-2)(x-3).H(x)$ . Ngược lại nếu $P(x)$ là đa thức thoả mãn điều kiện của để bài thì các đa thức $Q(x)=P(x)+(x-1)(x-2)(x-3).H(x)$ cũng thoả mãn điều kiện đề bài với mọi $H(x).$ Từ đó có thể thấy rằng có vô số các đa thức thoả mãn điều kiện đề bài.

Ta đặt ra câu hỏi: Trong các đa thức thoả mãn điều kiện đề bài, hãy tìm đa thức có bậc nhỏ nhất. Rõ ràng đa thức này không thể là hằng số, cũng không thể là bậc nhất. Ta thử tìm bậc tiếp theo là bậc $2.$

Giả sử $P(x) = ax^2 + bx + c$ là đa thức thoả mãn điều kiện đề bài. Khi đó:

$P(1)=1\Rightarrow a+b+c=1$

$P(2)=2\Rightarrow 4a+2b+c=2$

$P(3)=4\Rightarrow 9a+3b+c=4$

Giải hệ này ra ta được $\left ( a,b,c \right )=\left ( \frac{1}{2};\frac{-1}{2};1 \right )$ , ta được $P(x)=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x+1$ là đa thức bậc nhỏ nhất thoả mãn điều kiện. Và theo như lý luận ở trên , mọi nghiệm của bài toán sẽ có dạng:

$Q(x) = P(x) + (x-1)(x-2)(x-3)H(x)$

với $H(x)$ là một đa thức tuỳ ý.

Chuyên đề ĐA THỨC (phần III)

Diễn đàn toán học

CHUYÊN ĐỀ VỀ ĐA THỨC 

Trần Nam Dũng

Phần I: Xem tại đây

PHẦN II: Xem tại đây

Phần III : Đa thức bất khả quy

3.1. Đa thức với hệ số nguyên

Đa thức với hệ số nguyên là đa thức có dạng :

$$P(x)=a_{n}.x^{n}+a_{n-1}.x^{n-1}+..+a_{1}x+a_{0}$$

trong đó $a_{i}$ là các hệ số nguyên 

Ta ký hiệu tập hợp tất cả các đa thức với hệ số nguyên là $Z[x]$

Ta có các kết quả cơ bản sau đây về đa thức với hệ số nguyên:

$(1)$ Nếu $P(x)$ có nghiệm nguyên $x=a$ thì phân tích được $P(x)=(x-a).Q(x)$ với $Q(x)$ là đa thức với hệ số nguyên .

$(2)$ Nếu $a,b$ nguyên và $a\neq b$ thì $P(a)-P(b)\vdots a-b$

$(3)$ Nếu $x=\frac{p}{q}$ là một nghiêm của $P(x)$ ( với $(p,q)=1$ ) thì $p$ là ước của $a_{0}$ và q là ước của $a_{n}$ . Đặc biệt nếu $a_{n}=\underline{+}1$ thì nghiệm hữu tỷ là nghiệm nguyên

$(4)$ Nếu $x=m+\sqrt{n}$ là nghiệm của $P(x)$ với $m,n$ nguyên , $n$ không là số chính phương thì ${x}'=m-\sqrt{n}$ cũng là nghiệm của $P(x)$

$(5)$ Nếu $x=m+\sqrt{n}$ với $m,n$ nguyên , $n$ không là số chính phương thì $P(x)={M}'+{N}'\sqrt{n}$ với ${M}',{N}'$ nguyên 

Đa thức với hệ số nguyên sẽ nhận giá trị nguyên với mọi giá trị x nguyên. Điều ngược lại không đúng, có những đa thức nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên nhưng các hệ số của nó không nguyên.

Ví dụ: Các đa thức $\frac{x^2-x}{2}$, $\frac{x^3-x}{6}$ nhận giá trị nguyên với mọi $x$ nguyên

Đa thức với hệ số hữu tỷ nhưng nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên được gọi là đa thức nguyên.

Một đa thức với hệ số hữu tỷ $P(x)$ bất kỳ có thể biểu diễn được dưới dạng $\frac{a}{b}Q(x)$ với $a,b$ là các số nguyên và $Q(x)$ cũng là đa thức với hệ số nguyên 

3.2. Đa thức bất khả quy

Định nghĩa: Cho $P(x)$ là đa thức với hệ số nguyên. Ta gọi $P(x)$ là bất khả quy trên $Z[x]$ với bậc lớn hơn hay bằng 1
Tương tự định nghĩa đa thức bất khả quy trên $Q[x]$

Chuyên đề ĐA THỨC (phần II)

Diễn đàn toán học

CHUYÊN ĐỀ VỀ ĐA THỨC 

Trần Nam Dũng

Phần I: Xem tại đây

PHẦN II: ĐA THỨC VÀ NGHIỆM

Nghiệm của đa thức đóng một vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các tính chất của đa thức. Nhiều tính chất của đa thức được thể hiện qua nghiệm của chúng. Ngược lại, việc nghiên cứu tính chất các nghiệm của đa thức cũng cũng là một trong các vấn đề trung tâm của đại số.

2.1. Ví dụ mở đầu

            Xét xem số $\alpha=\sqrt[3]{3+\sqrt{3+\sqrt{3}}}$ là hữu tỉ hay vô tỉ

Ta có thể giải bài toán này bằng cách chứng minh lần lượt các mệnh đề sau:

$1)$ Nếu $a$ vô tỷ thì $\alpha$ vô tỷ

$2)$ Nếu $a$ vô tỷ thì $\sqrt[3]{\alpha}$ vô tỷ

$3)$ $\sqrt{3}$ vô tỷ

Nhưng ta cũng có thể có một cách tiếp cận khác như sau:

$1)$ Tìm đa thức với hệ số nguyên nhận $\alpha$ làm nghiệm

$2)$ Chứng minh rằng đa thức này không có nghiệm hữu tỷ

Việc tìm đa thức với hệ số nguyên nhận $\alpha$ làm nghiệm được tiến hành như sau

$\alpha=\sqrt[3]{3+\sqrt{3+\sqrt{3}}}\Rightarrow a^3=3+\sqrt{3+\sqrt{3}}\Rightarrow (a^3-3)^2=3+\sqrt{3}$

$\Rightarrow ((a^3-3)^2-3)=3$$a^{12}-12a^9+48x^6-72x^3+33=0$ $(*).$

Vấn đề còn lại là chứng minh $(*)$ không có nghiệm hữu tỷ. Việc này sẽ được thực hiện ở cuối bài.

Chuyên đề ĐA THỨC (phần I)

Diễn đàn toán học

CHUYÊN ĐỀ VỀ ĐA THỨC 

Trần Nam Dũng

Mình nén chuyên đề thành 1 file tại đây (Nếu link bị lỗi thì các bạn comment bên dưới bài viết để mình fix)

PHẦN I: ĐA THỨC

Đa thức là một trong những khái niệm trung tâm của toán học. Trong chương trình phổ thông, chúng ta đã làm quen với khái niệm đa thức từ bậc trung học cơ sở, từ những phép cộng, trừ, nhân đa thức đến phân tích đa thức ra thừa số, dùng sơ đồ Horner để chia đa thức, giải các phương trình đại số.  

Bài giảng này sẽ hệ thống hoá lại những kiến thức cơ bản nhất về đa thức 1 biến, các dạng toán thường gặp về đa thức. Ở cuối bài sẽ đề cập 1 cách sơ lược nhất về đa thức nhiều biến.

1. Đa thức và các phép toán trên đa thức  

1.1. Định nghĩa. Đa thức trên trường số thực là biểu thức có dạng

$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0},$ trong đó $a_{i}\in \mathbb{R}$ và $a_{n}\neq 0.$

$a_{1}$ được gọi là các hệ số của đa thức, trong đó $a_{n}$ được gọi là hệ số cao nhất và $a_{0}$ được gọi là hệ số tự do.

$n$ được gọi là bậc của đa thức và kí hiệu là $n=deg(P).$ Ta quy ước bậc của đa thức hằng $P(x)=a_{0}$ với mọi $x$ là bằng $0$ nếu $a_{0}\neq 0$ và bằng nếu $a_{0}=0.$

Để tiện lợi cho việc viết các công thức, ta quy ước với đa thức $P(x)$ bậc $n$ thì vẫn có các hệ số $a_{k}$ với $k>n,$ nhưng chúng đều bằng $0.$

Tập hợp các đa thức $1$ biến trên trường các số thực được kí hiệu là $R[x].$ Nếu các hệ số được lấy trên tập hợp các số hữu tỷ, các số nguyên thì ta có khái niệm đa thức với hệ số hữu tỷ, đa thức với hệ số nguyên và tương ứng là các tập hợp $Q[x],Z[x].$