Phương pháp UCT cho hệ phương trình (Phần 2)

Phương pháp UCT cho hệ phương trình (Phần 2)

Tác giả: nthoangcute

Phần 1: http://truongviethoang99.blogspot.com/2014/08/phuong-phap-uct-giai-he-phuong-trinh.html#more

$\bigstar$ Ví dụ 1:

$\left\{\begin{matrix}x^3+y^2=(x-y)(xy-1)~ (1)  &  & \\ x^3-x^2+y+1=xy(x-y+1)~ (2)  &  &  \end{matrix}\right.$

Đánh giá:- Bậc của $x$ cao hơn bậc của $y$
- Các biến $x,y$ không độc lập với nhau
- Bậc cao nhất của $x$ và $y$ ở hai phương trình là như nhau.
Vì bậc $x$ cao hơn nên ta viết lại 2 pt theo ẩn $y$ (Để dễ tính toán)
$\left\{\begin{matrix}y^2(x+1)-y(x^2+1)+x^3+x=0  &  & \\ y^2x-y(x^2+x-1)+x^3-x^2+1=0  &  &  \end{matrix}\right.$
Chúng ta nghĩ tới việc phân tích 1 trong 2 pt trên thành nhân tử, nhưng rất tiếc $\Delta $ của nó không chính phương.

Ta sẽ tìm $x$ để 2 pt trên là tương đương, tức là $PT(1)$ gấp $k$ lần $PT(2)$
$\dfrac{x+1}{x}=\dfrac{x^2+1}{x^2+x-1}=\dfrac{x^3+x}{x^3-x^2+1}=k$
$\Leftrightarrow x=1$ và $k=2$

Tức là $2.PT(2)-PT(1)=0$
Từ đó ta có lời giải bài toán.

Phương pháp UCT giải hệ phương trình (Phần 1)

Phương pháp UCT cho hệ phương trình (Phần 1)

Tác giả: nthoangcute

Quote

Hệ pt tổng quát: $\boxed{\left\{\begin{matrix}a_1x^2+b_1y^2+c_1xy+d_1x+e_1y+f_1=0 & & \\ a_2x^2+b_2y^2+c_2xy+d_2x+e_2y+f_2=0 & & \end{matrix}\right.}$

Đây là hệ gồm hai tam thức bậc hai. Khi đó tất nhiên ta phải nghĩ tới $\Delta $. Một tam thức có phân tích được nhân tử hay không phải xem $\Delta x$ hoặc $\Delta y$ có chính phương hay không. Nếu một trong 2 pt cho $\Delta x$ hoặc $\Delta y$ chính phương thì dễ dàng rồi, khi đó tìm nghiệm rồi phân tích nhân tử là ra được mối quan hệ giữa $x;y$ và thế vào pt còn lại thôi! Thế nhưng nếu cả 2 pt đều cho $\Delta x;y$ không chính phương thì ta làm như nào? Khi đó phải dùng đến phương pháp $UCT$ - một công cụ rất mạnh gần như quét sạch tất cả các bài HPT. Ta sẽ chọn hằng số thích hợp nhân vào một pt sau đó cộng (trừ) với pt còn lại và ép cho $\Delta $ chính phương.

Tức là tìm $k$ sao cho $\Delta $ của $\left(PT(1)+k.PT(2)\right)$ chính phương (là có thể phân tích thành nhân tử).

Quote

Phương pháp giải:

Đặt $a=a_1+ka_2$; $b=b_1+kb_2$; $c=c_1+kc_2$; $d=d_1+kd_2$; $e=e_1+ke_2$; $f=f_1+kf_2$

Số $k$ là nghiệm của pt sau với $a\neq 0$

$$cde+4abf=ae^2+bd^2+fc^2$$

Ví dụ 1:

Giải hpt: $\left\{\begin{matrix}14x^2-21y^2-6x+45y-14=0  &  & \\ 35x^2+28y^2+41x-122y+56=0  &  &  \end{matrix}\right.$

$4x^3+3x=\dfrac{3}{4}$

Bài toán:Giải pt: $$4x^3+3x=\dfrac{3}{4}$$

Chuyên đề: Phương Trình Vô Tỉ - Hệ PT

Xem toàn bộ tại đây

CÁCH GIẢI MỘT DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC ĐẶC BIỆT

CÁCH GIẢI MỘT DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC ĐẶC BIỆT

Bài toán 1: Giải pt:
$\sqrt{ax+b}=cx^2+dx+e$ $(I)$ với $ac\neq 0$

PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC ĐẶC BIỆT

PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC ĐẶC BIỆT

Phương trình chứa căn thức khá đa dạng và cũng phong phú về cách giải. Bài viết này trình bày về phương pháp đặt ẩn phụ để giải một số phương trình chứa căn thức có dạng đặc biệt là:

$\alpha x+\beta =F(\sqrt{1-x},\sqrt{1+x}) (*)$

Chúng ta chủ yếu sẽ xét các phương trình dạng:

$\alpha x+\beta =a\sqrt{1-x}+b\sqrt{1+x}+c\sqrt{1-x^2}(**)$

Trước hết ta thấy các phương trình trên có tập xác định là $[-1;1]$.

I. Phương pháp đặt ẩn phụ hoàn toàn.

1. Đặt một ẩn phụ:
Nếu các hệ số trong $(**)$ thỏa mãn điều kiện:

$\left\{\begin{matrix}ab=\frac{c}{2} & & \\ a^2-b^2=\alpha & & \end{matrix}\right.(***)$

thì ta có thể đặt $t=a\sqrt{1-x}+b\sqrt{1+x}$
Khi đó: $t^2=(a\sqrt{1-x}+b\sqrt{1+x})^2$

$=2ab\sqrt{1-x^2}-(a^2-b^2)x+(a+b)$

$=c\sqrt{1-x^2}-\alpha x+(a+b)$
Từ đó được phương trình ẩn $t$.

Ví dụ 1: