ỨNG DỤNG SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA VÀO CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

ỨNG DỤNG SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA VÀO CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Định lí Viet đối với phương trình bậc ba được phát biểu như sau:

Nếu phương trình: $ax^3+bx^2+cx+d=0, a\neq0$ có $3$ nghiệm $x_1, x_2, x_3$ thì

$$\left\{\begin{matrix} & x_1+x_2+x_3=-\dfrac{b}{a} & \\ & x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=\dfrac{c}{a} & \\ & x_1x_2x_3=-\dfrac{d}{a} & \end{matrix}\right.$$

$(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)\geq \frac{5}{16}(a+b+c+1)^2$

Bài toán:

Cho $a;b;c>0$. Cmr:

$$(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)\geq \frac{5}{16}(a+b+c+1)^2$$

$P=\dfrac{a+3c}{a+2b+c}+\dfrac{4b}{a+b+2c}-\dfrac{8c}{a+b+3c}$

Bài toán:

Cho a,b,c là các số thực dương. Tìm Min của

$$P=\dfrac{a+3c}{a+2b+c}+\dfrac{4b}{a+b+2c}-\dfrac{8c}{a+b+3c}$$

Lời giải:

Nhìn vào điều kiện bài toán dẫn ta đến việc đăt ẩn phụ

\[\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{a} + \dfrac{c}{b} \ge a + b + c\]

Bài toán:

Chứng minh rằng: Với $a,b,c>0$ và $abc \le 1$ thì ta luôn có:\[\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{a} + \dfrac{c}{b} \ge a + b + c\]

Lời giải:

Ta có: $abc \le 1 \Rightarrow \dfrac{1}{{bc}} \ge a$

Cho lục giác $ABCDEF$ có các cạnh đối song song. Gọi $H;K$ là hình chiếu của $A;B$ trên $CE;DF$. Cm: $\frac{DF}{CE}=\frac{AH}{BK}$

Bài toán: Cho lục giác $ABCDEF$ có các cạnh đối song song. Gọi $H;K$ là hình chiếu của $A;B$ trên $CE;DF$. Cm: $\frac{DF}{CE}=\frac{AH}{BK}$
Lời giải:

$AD\cap BE\equiv M;~~FC\cap AD\equiv N;~~BE\cap CF\equiv P$

Cho tam giác $ABC$. $D;E;F$ lần lượt thuộc cạnh $BC;CA;AB$. $AD\cap CF\equiv M;AD\cap BE\equiv N;BE\cap CF\equiv P$ Biết $S_{MNP}=S_{AMF}=S_{BDN}=S_{CPE}=1$. Tính $S_{ABC}$

Bài toán: Cho tam giác $ABC$. $D;E;F$ lần lượt thuộc cạnh $BC;CA;AB$. $AD\cap CF\equiv M;AD\cap BE\equiv N;BE\cap CF\equiv P$

Biết $S_{MNP}=S_{AMF}=S_{BDN}=S_{CPE}=1$
Tính $S_{ABC}$

Lời giải:

Có: $S_{MNP}=S_{CPE}\Rightarrow S_{MNC}=S_{CEN}\Rightarrow ME//CN$

$(xa+yb+zc)\left(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}\right)\leq \dfrac{(a+c)^{2}}{4ac}(x+y+z)^{2}$

Bài toán:

Cho $$\left\{\begin{matrix} 0< a\leq b\leq c & \\ 0< x,y,z& \end{matrix}\right.$$

Cmr: $$(xa+yb+zc)\left(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}\right)\leq \dfrac{(a+c)^{2}}{4ac}(x+y+z)^{2}$$

Cho tứ giác lồi $ABCD$, các cặp cạnh đối $AB;CD$ cắt nhau tại $P$ và $BC$ cắt $AD$ tại $Q$. Cmr: Đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ABQ;BCP;DCQ;ADP$ cắt nhau tại một điểm.

Bài toán:
Cho tứ giác lồi $ABCD$, các cặp cạnh đối $AB;CD$ cắt nhau tại $P$ và $BC$ cắt $AD$ tại $Q$. Cmr: 
Đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ABQ;BCP;DCQ;ADP$ cắt nhau tại một điểm.

Tiếng Anh trong Toán Học

Các loại câu thường dùng khi giải bài toán bằng tiếng Anh

Conversely, if.. then                                                                      Đảo lại, nếu .. thì

Indeed                                                                                           Thực vậy

By the same argument we get                                                    Với cùng lập luận, ta có

Put                                                                                                  Đặt

Let.. be                                                                                           Đặt.. là