$(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)\geq \frac{5}{16}(a+b+c+1)^2$

Bài toán:

Cho $a;b;c>0$. Cmr:

$$(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)\geq \frac{5}{16}(a+b+c+1)^2$$

Lời giải:

Áp dụng BĐT BCS, ta có:

$$\frac{5}{16}(a+b+c+1)^2 \leq \frac{5}{16}(a^2+1)[1+(b+c+1)^2]$$

Do đó, để chứng minh BĐT đã cho, ta sẽ chứng minh BĐT sau:

$$16(b^2+1)(c^2+1) \geq 5[ (b+c+1)^2 + 1]$$

$$\Leftrightarrow 16(b^2c^2+b^2+c^2+1) \geq 5( b^2+c^2+2bc+2b+2c+2)$$

$$\Leftrightarrow 16b^2c^2+11b^2+11c^2-10bc-10b-10c+6 \geq 0$$

$$\Leftrightarrow 6(b-c)^2+(4bc-1)^2+5(b+c-1)^2 \geq 0$$ ( Luôn đúng )

Vậy BĐT được chứng minh, dấu "=" tại $a=b=c=\dfrac{1}{2}$