$P=\dfrac{a+3c}{a+2b+c}+\dfrac{4b}{a+b+2c}-\dfrac{8c}{a+b+3c}$

Bài toán:

Cho a,b,c là các số thực dương. Tìm Min của

$$P=\dfrac{a+3c}{a+2b+c}+\dfrac{4b}{a+b+2c}-\dfrac{8c}{a+b+3c}$$

Lời giải:

Nhìn vào điều kiện bài toán dẫn ta đến việc đăt ẩn phụ

Đặt $\left\{\begin{matrix} a+2b+c=x\\a+b+2c=y \\ a+b+3c=z \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+3c=2y-x\\4b=4x-8y+4z \\ -8c=8y-8z \end{matrix}\right.$

Do đó $A=\dfrac{2y-x}{x}+\dfrac{4x-8y+4z}{y}+\dfrac{8y-8z}{z}$

  $\Rightarrow A=\dfrac{2y}{x}-1+\dfrac{4x}{y}-8+\dfrac{4z}{y}+\dfrac{8y}{z}-8$

  $\Rightarrow A=(\dfrac{2y}{x}+\dfrac{4x}{y})+(\dfrac{4z}{y}+\dfrac{8y}{z})-17$

Đến đây thì áp dụng AM-GM ta có

          $$(\dfrac{2y}{x}+\dfrac{4x}{y})+(\dfrac{4z}{y}+\dfrac{8y}{z}) \geqslant 4\sqrt{2}+8\sqrt{2}=12\sqrt{2}$$

  $\Rightarrow A\geqslant 12\sqrt{2}-17$

Đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} y=x\sqrt{2}\\ z=y\sqrt{2} \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+b+2c=(a+2b+c)\sqrt{2}\\ a+b+3c=(a+b+2c)\sqrt{2} \end{matrix}\right.$