Cho tam giác $ABC$. $D;E;F$ lần lượt thuộc cạnh $BC;CA;AB$. $AD\cap CF\equiv M;AD\cap BE\equiv N;BE\cap CF\equiv P$ Biết $S_{MNP}=S_{AMF}=S_{BDN}=S_{CPE}=1$. Tính $S_{ABC}$

Bài toán: Cho tam giác $ABC$. $D;E;F$ lần lượt thuộc cạnh $BC;CA;AB$. $AD\cap CF\equiv M;AD\cap BE\equiv N;BE\cap CF\equiv P$

Biết $S_{MNP}=S_{AMF}=S_{BDN}=S_{CPE}=1$
Tính $S_{ABC}$

Lời giải:

Có: $S_{MNP}=S_{CPE}\Rightarrow S_{MNC}=S_{CEN}\Rightarrow ME//CN$

$\Rightarrow \frac{AM}{MN}=\frac{AE}{CE}\Rightarrow \frac{S_{AMN}}{S_{MNP}}=\frac{S_{APE}}{S_{CPE}}$

Mà $S_{MNP}=S_{CPE}$

$\Rightarrow S_{AMP}=S_{APE}$

$\Rightarrow S_{AFP}=S_{ACP}$ (Do $S_{AFN}=S_{CPE}$)

$\Rightarrow FP=CP$

$\Rightarrow S_{FBP}=S_{CBP}$

$\Rightarrow S_{FMNB}=S_{NPCD}$ (Do $S_{MNP}=S_{BND}$)

Cmtt ta có: $S_{FMNB}=S_{NPCD}=S_{AMPE}$

Đặt $S_{FMNB}=S_{NPCD}=S_{AMPE}=x$

Có $\frac{AM}{AN}=\frac{AE}{CE}$
Mà $\left\{\begin{matrix}\frac{AM}{MN}=\frac{S_{AMP}}{S_{MNP}}=\frac{x}{2}  &  & \\ \frac{AE}{CE}=\frac{S_{ABE}}{S_{CBE}}=\frac{2x+2}{x+2}  &  &  \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{2x+2}{x+2}\Leftrightarrow x=\sqrt{5}+1$

$\Rightarrow S_{ABC}=3\sqrt{5}+3+4=3\sqrt{5}+7$