Đề thi chọn HSG lớp 12 tỉnh Thái Bình năm học 2014-2015

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2014-2015

           THÁI BÌNH                                                                             Môn: TOÁN

                                                                      Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
 

Câu I (3,0 điểm).
Cho hàm số $y=\frac{x}{x-1}$ có đồ thị là $\left ( C \right )$

$M$ là điểm tùy ý trên $\left ( C \right )$ có hoành độ lớn hơn $1$. Tiếp tuyến của $\left ( C \right )$ tại $M$ cắt hai đường tiệm cận tại $A$ và $B$ phân biệt. Xác định tọa độ điểm $M$ để diện tích tam giác $OAB$ nhỏ nhất ($O$ là gốc tọa độ).

Câu II  (4,0 điểm).

Cho hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}2y^3+y+2x\sqrt{1-x}=3\sqrt{1-x}  &  & \\ \sqrt{2y^2+1}+y=m+\sqrt{x+4}  &  &  \end{matrix}\right.$ ($m$ là tham số; ẩn $x,y$ là số thực).

1. Giải hệ phương trình khi $m=4$.

2. Tìm $m$ để hệ phương trình có nghiệm.

Câu III (2,0 điểm).

Giải phương trình: $2\cos \left ( \frac{\pi}{3}-2x \right )+(4+\sqrt{3})\cos x+3\sin x+2\sqrt{3}+1=0$

Câu IV (3,0 điểm).

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $\left ( C \right )$ có phương trình: $(x-2)^2+(y-2)^2=4$. 

Lập phương trình đường tròn $\left ( C' \right )$ tâm $I(4;4)$, cắt đường tròn $\left ( C \right )$ tại hai điểm $A,B$ sao cho $AB=2\sqrt{2}$.

Câu V (3,0 điểm).
Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=2a,SB=3a,SC=4a, \widehat{ASB}=\widehat{SAC}=90^o, \widehat{BSC}=120^o$.

Hai điểm $M,N$ thỏa mãn $3\overrightarrow{SM}=2\overrightarrow{SB}, \overrightarrow{SC}=2\overrightarrow{SN}$.

1. Chứng minh tam giác $AMN$ vuông. Tính khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $(SAB)$.

2. Cho hai điểm $E$ và $F$ thay đổi, lần lượt nằm trên hai đoạn thẳng $AB$ và $SC$. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn $EF$.

Câu VI (4,0 điểm).

1. Cho dãy số $(u_n)$ thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix}u_1=1;u_2=3  &  & \\ u_{n+1}=4u_n-3u_{n-1}~~(\forall n\in \mathbb{N}, n\ge 2)  &  &  \end{matrix}\right.$

Tính $\lim_{n\rightarrow +\infty } S_n$ với $S_n=\sum _{i=1}^n \frac{1}{u_i}$

2. Cho số thực $x$ thay đổi lớn hơn $0$. Chứng minh rằng: $e^x+e^{-\frac{1}{x}}>2+x-\frac{1}{x}+\frac{x^2}{2}$

Câu VII (1,0 điểm).

Tìm số nghiệm nguyên dương của hệ: $\left\{\begin{matrix}x_1+x_2+x_3<2014  &  & \\ 1\le x_i\le 1007, \forall i\in \left \{ 1;2;3 \right \}  &  &  \end{matrix}\right.$

Thủ thuật CASIO (phần cuối)

Tóm lại, tất cả các thủ thuật hãy xem qua video để hiểu rõ!
https://www.youtube.com/watch?v=mw_oxW5O9jU&index=38&list=UU1OQEJDJ0nsRHQ5q_LHJRrg

$P=\dfrac{a^3b^3}{(a+bc )(b+ca )(c+ab)^2}$

Bài toán:
Cho $a;b;c>0$ thỏa mãn $a+b+1=c$. Tìm Max $$P=\dfrac{a^3b^3}{(a+bc )(b+ca )(c+ab)^2}$$

Hằng đẳng thức $\dfrac{ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}=1$ và mở rộng

TỪ MỘT ĐẲNG THỨC ĐẸP

Tác giả: 

Tham Lang

Trong quá trình off, mình đã có dịp tiếp xúc nhiều hơn với BĐT. Và nhận thấy, trong tuyển tập BĐT của Cao Minh Quang và tuyển tập BĐT của Nguyễn Đình Thi có rất nhiều bài toán có nét tương đồng. Và sau đây, mình sẽ trình bày phát hiện nho nhỏ này. 
Tất nhiên, các bài toán này đều đã rất quen thuộc với chúng ta, có thể có nhiều cách đặt, giải cũng khá ngắn gọn. Nhưng vấn đề ở đây là tìm một mối liên hệ chung nhất của chúng.
Ta cùng đi đến đẳng thức sau :
$$\dfrac{ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}=1$$
Nếu đặt :
$x=\dfrac{2a}{b+c}, y=\dfrac{2b}{c+a}, z=\dfrac{2c}{a+b}$ thì ta có đẳng thức :
$$xy+yz+zx+xyz=4$$
Nếu đặt :
$a=\dfrac{2\sqrt{xy}}{\sqrt{(y+z)(x+z)}}, b=\dfrac{2\sqrt{yz}}{\sqrt{(y+x)(z+x)}}, c=\dfrac{2\sqrt{zx}}{\sqrt{(z+y)(x+y)}}$
Hoặc 
$a=\dfrac{2x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}}, b=\dfrac{2y}{\sqrt{(y+z)(y+x)}}, c=\dfrac{2z}{\sqrt{(z+x)(z+y)}}$
(Với $x,y,z\ge 0, (x+y)(y+z)(z+x) \ne 0$)
Thì 
$$a^2+b^2+c^2+abc=4$$
Từ những đẳng thức này, ta cùng đến :

Thủ thuật CASIO Phần 3

PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH NHÂN TỬ

TRONG PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Bùi Thế Việt, lớp 10 Toán 2, THPT Chuyên Thái Bình, Thái Bình

Yahoo: vietpro213tb

          Như chúng ta đã biết, phương trình và hệ phương trình là một dạng toán hay và khó, được rất nhiều bạn học sinh và thầy cô giao yêu thích. Nó thường xuyên xuất hiện trong các kì thi quan trọng như kì thi HSG, tốt nghiệp THPT, Đại học và Cao đẳng, …Tuy nhiên, để giải một phương trình hay hệ phương trình, nhiều khi chúng ta cần phải nhóm, phân tích hợp lý để có nhân tử, tạo điều kiện dễ dàng hơn trong việc giải toán. Đó là một điều khá khó, không hẳn ai cũng làm được, không có phương pháp chung để giải. Mình xin trình bày ý tưởng của mình về phương pháp phân tích thành nhân tử trong Phương trình vô tỷ và Hệ phương trình có hệ số nguyên.

I.             Phương trình vô tỷ:

Như chúng ta đã biết, việc phân tích thành nhân tử trong phương trình vô tỷ thường được đưa về dạng:

$$f+k\sqrt{g}=\left( a+{{k}_{1}}\sqrt{{{g}_{1}}} \right)\left( b+{{k}_{2}}\sqrt{{{g}_{2}}} \right)$$

Phương pháp phân tích:

1. Tìm nghiệm của phương trình

2. Ta chia làm hai trường hợp:

a) Nghiệm của phương trình là số vô tỷ

Phương pháp được thể hiện qua ví dụ sau:

VD1: Giải phương trình: $f(x)={{x}^{2}}+1-(x+1)\sqrt{{{x}^{2}}-2x+3}=0$

Hướng giải:

Bước 1: Tìm tập nghiệm của phương trình: $S=\{ 1 \pm \sqrt{2} \}$

Bước 2: Tại giá trị $x$là nghiệm thì giá trị của căn thức là bao nhiêu:

$$x=1+\sqrt{2}\to \sqrt{{{x}^{2}}-2x+3}=2$$

$$x=1-\sqrt{2}\to \sqrt{{{x}^{2}}-2x+3}=2$$

Điều này chứng tỏ sau khi phân tích thành nhân tử thì sẽ có nhân tử là $\left( \sqrt{{{x}^{2}}-2x+3}-2 \right)$

Bước 3: Xét tổng, hiệu để làm mất căn thức:

$$f(x)+(x+1)(\sqrt{{{x}^{2}}-2x+3}-2)={{x}^{2}}-2x-1$$

Bước 4: Nhân liên hợp nhân tử ở bước 2:

$$\left( \sqrt {{x}^{2}-2\,x+3}-2 \right)  \left( \sqrt {{x}^{2}-2\,x+3}+2 \right) ={x}^{2}-2\,x-1$$

Suy ra: $$f(x)=\left( \sqrt{{{x}^{2}}-2x+3}-2 \right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}-2x+3}+2 \right)-\left( x+1\right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}-2x+3}-2 \right)\\f(x)= \left( \sqrt {{x}^{2}-2\,x+3}-2 \right)  \left( \sqrt{{x}^{2}-2\,x+3}+2 \right) - \left( x+1 \right)  \left( \sqrt {{x}^{2}-2\,x+3}-2 \right) = \left( \sqrt {{x}^{2}-2\,x+3}-2 \right)  \left( \sqrt {{x}^{2}-2\,x+3}-x+1 \right)$$

Bài giải: Bạn đọc tự giải

Nhận xét: Phương pháp này áp dụng cho các bài phương trình vô tỷ mà chỉ có chứa một căn thức và nghiệm của phương trình là số vô tỷ. Tuy nhiên, để mở rộng phạm vi của phương pháp thì hãy xét ví dụ sau:

VD2: Giải phương trình: $$f(x)=5x+7+13\sqrt{x-1}-9\sqrt{x+1}-7\sqrt{{{x}^{2}}-1}=0$$

Hướng giải: (tương tự VD1)

Bước 1: Tập nghiệm của phương trình là $S=\frac{20-4\sqrt{7}}{9},\frac{35+9\sqrt{5}}{8}$

Bước 2: Tại $x=\frac{20-4\sqrt{7}}{9}$ thì $\sqrt{x-1}=\frac{-2+\sqrt{7}}{3}$ và $\sqrt{x+1}=\frac{-1+2\sqrt{7}}{3}$

Bước 3: Do hệ số của phương trình vô tỷ đều là số nguyên nên giả sử sau khi phân tích $f(x)$thành nhân tử thì trong nhân tử đó có dạng $a\sqrt{x-1}+b\sqrt{x+1}+c$với $a,b,c$ là các số nguyên. Do đó, ta chỉ cần tìm mối liên hệ giữa các căn thức: \[\sqrt{x+1}-2\sqrt{x-1}-1=0\]

Tương tự với nghiệm \[x=\frac{35+9\sqrt{5}}{8}\] thì mối liên hệ giữa các căn thức là: $\sqrt {x-1}-3\,\sqrt {x+1}+6=0$

Do đó $f(x)$ chứa các nhân tử $\left( \sqrt{x+1}-2\sqrt{x-1}-1 \right)$ và $\sqrt {x-1}-3\,\sqrt {x+1}+6$

Bước 4: Nhẩm thấy $f(x)= \left( \sqrt {x-1}-3\,\sqrt {x+1}+6 \right)  \left( 2\,\sqrt {x-1}-\sqrt {x+1}+1 \right)$

(nếu không thì từ các nhân tử, ta biến đổi dần dần $f(x)$ thành các cụm chứa nhân tử đó)

Bài giải: Bạn đọc tự giải

Thủ thuật CASIO Phần 2

(Sao chép xin ghi rõ nguồn: diendantoanhoc.net hoặc tác giả "Bùi Thế Việt")

CÁC THỦ THUẬT CASIO

(Tác giả : Bùi Thế Việt, 11 Toán 2, THPT Chuyên Thái Bình, Thái Bình)

Thủ thuật 4: Chứng minh phương trình bậc 4 vô nghiệm: (Post lại bài mình đã post)

Thêm một phương pháp "tủ" của mình, đó là cách chứng minh phương trình bậc 4 vô nghiệm ! (Ai không hiểu gì cứ pmmmm nha, nhưng cũng hơi đau đầu đấy)
_________________________
Xét PT $f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ với $d>0$ và $a,b,c$ là các hệ số.
Khi bạn giải mãi cái này mà không ra nghiệm (Can't solve), bạn hãy chứng minh phương trình vô nghiệm

Ví dụ 1: Giải phương trình: $x^4-6x^3+16x^2-22x+16=0$

Cách 1: Cách ăn may: đó chính là $f(x)$ phân tích thành 2 cái bậc 2 cộng với một hệ số tự do không âm,
giống như $f(x)=x^4-6x^3+16x^2-22x+16$

Khi đó $f(x)=(x^2-2x+3)(x^2-4x+5)+1>0$

[?] Vậy tại sao lại có thể phân tích thành cái này, đó là câu hỏi khó ?

Cách làm ở đây là đặt $f(x)=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)+e$
Suy ra $f(x)=x^4+(a+c)x^3+(d+ac+b)x^2+(bc+ad)x+bd+e$
Đồng nhất với đa thức ban đầu là $f(x)=x^4-6x^3+16x^2-22x+16$
Ta có:
$$\left\{\begin{matrix}
a+c=-4\\
d+ac+b=16\\
bc+ad=-22\\
bd+e=16
\end{matrix}\right.$$
Từ đó dễ dàng suy ra $a=-2, \;b=3, \;c=-4, \; d=5, \; e=1$ nhờ phương pháp mò (Vì đây là cách ăn may mà)

Cách 2: (Cách này ảo nhất, bây giờ tui mới phát hiện ra)

Cũng từ: $A=f(x)=x^4-6x^3+16x^2-22x+16$

Ta sẽ chứng minh $f(x)>0$ bằng cách đặt $x=y-\frac{a}{4}$, để mất đi hệ số của $y^3$

Đặt $x=y+\frac{3}{2}$

Biểu thức đã cho trở thành:
$$A=y^4+\frac{5y^2}{2}-y+\frac{61}{16}=y^4-2m y^2+m^2+(2m+\frac{5}{2})y^2-y+\frac{61}{16}-m^2$$

(Chỗ này khá ảo, nhưng hay)

Cần tìm $m > -\frac{5}{2}$ để PT $(2m+\frac{5}{2})y^2-y+\frac{61}{16}-m^2$ vô nghiệm (khi đó nó mới >0)

Thì $\Delta = <0$

Tìm bất kì số $m$ nào thỏa mãn BĐT kia và phải thỏa mãn $m> \frac{5}{2}$

Có nhiều $m$ thỏa mãn lắm, VD: $m=0$ hoặc $m=-1$ hoặc $m=1$ là đẹp mắt nhất

Chọn một cái và làm !

Giả sử:

a) $m=-1$ thì $A=(y^2+1)^2+\frac{3}{2}(y-\frac{1}{3})^2+\frac{175}{48}$
Suy ra $A= (x^2-3x+\frac{13}{4})^2+\frac{3}{2}(x-\frac{11}{6})^2+\frac{175}{48}>0$

b) $m=0$ thì $A=y^4+\frac{5}{2}(y-\frac{1}{5})^2 +\frac{297}{80}$
Suy ra $A=(x-\frac{3}{2})^4+\frac{5}{2}(x-\frac{17}{10})^2 +\frac{297}{80}>0$

c) $m=1$ thì $A=(y^2-1)^2+\frac{7}{2}(y-\frac{1}{7})^2+\frac{419}{112}$
Suy ra $A=(x^2-3x+\frac{5}{4})^2+\frac{7}{2}(x-\frac{23}{14})^2+\frac{419}{112}$

Thủ thuật CASIO Phần 1

(Sao chép xin ghi rõ nguồn: diendantoanhoc.net hoặc tác giả "Bùi Thế Việt")

CÁC THỦ THUẬT CASIO

(Tác giả : Bùi Thế Việt, 11 Toán 2, THPT Chuyên Thái Bình, Thái Bình)

Thủ thuật 1: Khai triển đa thức hệ số nguyên hoặc hệ số là phân số nhỏ
(Cái này áp dụng rất nhiều trong việc giải toán)

a) Hệ số nguyên
Nội dung: Ta nên nhớ một điều như sau:
Giả sử khi khai triển đa thức thì đa thức có dạng: $a_n x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+...+a_1x+a_0$
Tại $x=10$ thì đa thức có giá trị là $\overline{a_na_{n-1}...a_1a_0}$
Tại $x=100$ thì đa thức có giá trị là $\overline{a_n0a_{n-1}0...0a_10a_0}$

Tại $x=1000$ thì đa thức có giá trị là $\overline{a_n00a_{n-1}00...00a_100a_0}$
...
Chắc bạn sẽ khó hiểu về cái này ! Nhưng hãy ấn phím trên CASIO và làm theo các bước sau là bạn sẽ hiểu ngay:
Bước 1: Nhập đa thức :$9X^3+2X^2+7X+1$
Bước 2: Ấn CALC, máy hỏi $X?$
Bước 3: Nhập $10$ và ấn nút $=$. Bạn sẽ thấy kết quả là $9271$. Ấn tiếp "=", máy hỏi $X?$
Bước 4: Nhập $100$ và ấn nút $=$. Bạn sẽ thấy kết quả là $9020701$. Ấn tiếp "=", máy hỏi $X?$
Bước 5: Nhập $1000$ và ấn nút $=$. Bạn sẽ thấy kết quả là $9002007001$
Vậy chắc bạn đã hiểu, nếu không hiểu Comment bên dưới

Nhưng nếu những hệ số là số nguyên âm thì sao ? Lại tìm hiểu tiếp nhé !

Bước 1: Nhập đa thức :$9X^3-2X^2-7X+1$
Bước 2: Ấn CALC, máy hỏi $X?$
Bước 3: Nhập $10$ và ấn nút $=$. Bạn sẽ thấy kết quả là $8731$. Ấn tiếp "=", máy hỏi $X?$
Bước 4: Nhập $100$ và ấn nút $=$. Bạn sẽ thấy kết quả là $8979301$. Ấn tiếp "=", máy hỏi $X?$
Bước 5: Nhập $1000$ và ấn nút $=$. Bạn sẽ thấy kết quả là $8997993001$. Ấn tiếp "=", máy hỏi $X?$
Bước 6: Nhập $10000$ và ấn nút $=$. Bạn sẽ thấy kết quả là $8999799930001$

Nhận xét: Nếu số bạn nhập là $10^x$ (tức là số $\overline{100...0}$ với $x$ số $0$), hãy chia kết quả thành các khoảng $x$ chữ số từ phải sang trái. VD: $8997993001$ thì là $8|997|993|001$ hoặc $8999799930001$ thì là $8|9997|9993|0001$
Gọi giá trị khoảng thứ $t$ ($t \leq n$) là $k_t$ thì ta có:
+ Nếu $k$ có nhiều số $9$ thì hệ số $a_{t}=10^{x}-k_t$
+ Nếu $k$ có nhiều số $0$ thì hệ số $a_{t}=k_t$

P/s: Mình nói hơi khó hiểu và lòng vòng, tốt nhất là nên đọc luôn cách làm bên dưới:

Tổng Hợp Chuyên Đề Tạp Chí Toán Học Và Tuổi Trẻ

1. Chuyên Đề Bất Đẳng Thức       Download
2. Chuyên Đề Đại Số                     Download
3. Chuyên Đề Giải Tích                  Download
4. Chuyên Đề Hình Học                  Download
5. Chuyên Đề Hình Học-Giải Tích  Download
6. Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số  Download
7. Chuyên Đề Lượng Giác            Download 

BẤM VÀO LINK DOWNLOAD, CÁC BẠN CHỜ 5S SAU ĐÓ BẤM "SKIP AD", NẾU LINK DIE COMMENT LẠI GIÚP MÌNH ĐỂ MÌNH FIX LẠI LINK

Tuyển Tập Sách Tạp Chí Toán Học Và Tuổi Trẻ

 

Tuyển chọn chuyên đề THTT Q3         Download

Tuyển tập 5 năm THTT (1991-1995)     Download 

Tuyển tập 30 năm THTT                         Download

BẤM VÀO LINK DOWNLOAD, CÁC BẠN CHỜ 5S SAU ĐÓ BẤM "SKIP AD", NẾU LINK DIE COMMENT LẠI GIÚP MÌNH ĐỂ MÌNH FIX LẠI LINK

Tuyển Tập Tạp Chí Toán Học Tuổi Trẻ Năm 2013 (12 số)

Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ số 427 tháng 1   Download.
Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ số 428 tháng 2   Download.
Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ số 429 tháng 3   Download.
Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ số 430 tháng 4   Download.
Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ số 431 tháng 5   Download.
Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ số 432 tháng 6   Download.
Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ số 433 tháng 7   Download.
Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ số 434 tháng 8   Download.
Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ số 435 tháng 9   Download.
Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ số 436 tháng 10 Download.
Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ số 437 tháng 11 Download.
Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ số 438 tháng 12 Download.



BẤM VÀO LINK DOWNLOAD, CÁC BẠN CHỜ 5S SAU ĐÓ BẤM "SKIP AD", NẾU LINK DIE COMMENT LẠI GIÚP MÌNH ĐỂ MÌNH FIX LẠI LINK.

Tuyển Tập Tạp Chí Toán Học Tuổi Trẻ Năm 2012 (12 số)

Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ số 415 tháng 1   Download.

Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ số 416 tháng 2   Download.
Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ số 417 tháng 3   Download.
Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ số 418 tháng 4   Download.
Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ số 419 tháng 5   Download.
Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ số 420 tháng 6   Download.
Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ số 421 tháng 7   Download.
Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ số 422 tháng 8   Download.
Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ số 423 tháng 9   Download.
Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ số 424 tháng 10 Download.
Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ số 425 tháng 11 Download.
Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ số 426 tháng 12 Download.

BẤM VÀO LINK DOWNLOAD, CÁC BẠN CHỜ 5S SAU ĐÓ BẤM "SKIP AD", NẾU LINK DIE COMMENT LẠI GIÚP MÌNH ĐỂ MÌNH FIX LẠI LINK.