Đề thi chọn HSG lớp 12 tỉnh Thái Bình năm học 2014-2015

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2014-2015

           THÁI BÌNH                                                                             Môn: TOÁN

                                                                      Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
 

Câu I (3,0 điểm).
Cho hàm số $y=\frac{x}{x-1}$ có đồ thị là $\left ( C \right )$

$M$ là điểm tùy ý trên $\left ( C \right )$ có hoành độ lớn hơn $1$. Tiếp tuyến của $\left ( C \right )$ tại $M$ cắt hai đường tiệm cận tại $A$ và $B$ phân biệt. Xác định tọa độ điểm $M$ để diện tích tam giác $OAB$ nhỏ nhất ($O$ là gốc tọa độ).

Câu II  (4,0 điểm).

Cho hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}2y^3+y+2x\sqrt{1-x}=3\sqrt{1-x}  &  & \\ \sqrt{2y^2+1}+y=m+\sqrt{x+4}  &  &  \end{matrix}\right.$ ($m$ là tham số; ẩn $x,y$ là số thực).

1. Giải hệ phương trình khi $m=4$.

2. Tìm $m$ để hệ phương trình có nghiệm.

Câu III (2,0 điểm).

Giải phương trình: $2\cos \left ( \frac{\pi}{3}-2x \right )+(4+\sqrt{3})\cos x+3\sin x+2\sqrt{3}+1=0$

Câu IV (3,0 điểm).

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $\left ( C \right )$ có phương trình: $(x-2)^2+(y-2)^2=4$. 

Lập phương trình đường tròn $\left ( C' \right )$ tâm $I(4;4)$, cắt đường tròn $\left ( C \right )$ tại hai điểm $A,B$ sao cho $AB=2\sqrt{2}$.

Câu V (3,0 điểm).
Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=2a,SB=3a,SC=4a, \widehat{ASB}=\widehat{SAC}=90^o, \widehat{BSC}=120^o$.

Hai điểm $M,N$ thỏa mãn $3\overrightarrow{SM}=2\overrightarrow{SB}, \overrightarrow{SC}=2\overrightarrow{SN}$.

1. Chứng minh tam giác $AMN$ vuông. Tính khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $(SAB)$.

2. Cho hai điểm $E$ và $F$ thay đổi, lần lượt nằm trên hai đoạn thẳng $AB$ và $SC$. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn $EF$.

Câu VI (4,0 điểm).

1. Cho dãy số $(u_n)$ thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix}u_1=1;u_2=3  &  & \\ u_{n+1}=4u_n-3u_{n-1}~~(\forall n\in \mathbb{N}, n\ge 2)  &  &  \end{matrix}\right.$

Tính $\lim_{n\rightarrow +\infty } S_n$ với $S_n=\sum _{i=1}^n \frac{1}{u_i}$

2. Cho số thực $x$ thay đổi lớn hơn $0$. Chứng minh rằng: $e^x+e^{-\frac{1}{x}}>2+x-\frac{1}{x}+\frac{x^2}{2}$

Câu VII (1,0 điểm).

Tìm số nghiệm nguyên dương của hệ: $\left\{\begin{matrix}x_1+x_2+x_3<2014  &  & \\ 1\le x_i\le 1007, \forall i\in \left \{ 1;2;3 \right \}  &  &  \end{matrix}\right.$