Tìm Min của $P=kx^2+ly^2+hz^2$

Bài toán: Cho $x,y,z,k,l,h\in \mathbb{R^+}$ thỏa mãn $xy+yz+zx=1$. Tìm Min của $P=kx^2+ly^2+hz^2$

(http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h514713p2892125)

Lời giải:

\[P = kx ^ 2 + ly ^ 2 + hz ^ 2 = (a + m) x ^ 2 + (b + n) y ^ 2 + (c + p) z ^ 2 \]

Áp dụng bđt AM-GM, ta có $ax^2+by^2\geq 2\sqrt {ab}xy,~~ mx ^ 2 + cz ^ 2\geq 2\sqrt{mc} zx,~~ ny ^ 2 + pz ^ 2\geq 2\sqrt{np} yz $.

$\Rightarrow P\ge 2\sqrt{ab}xy+2\sqrt{mc}zx+2\sqrt{np}yz$        $(*)$

Đẳng thức xảy ra khi $ax = by $ , $ cz = mx $ , $ ny = pz $.

Nhân lại ta có: $acn=bmp$

Để sử dụng được điều kiện $xy+yz+zx=1$ thì ta phải có $2\sqrt{ab}=2\sqrt{mc}=2\sqrt{np}$        (Do $(*)$)

$\Rightarrow ab = mc = np = t\Rightarrow acn.bmp=t^3$, mà $acn=bmp$ do đó $ acn= bmp =\sqrt{t ^ 3} $.

Khi đó $P\ge 2\sqrt{t}(xy+yz+zx)=2\sqrt{t}$

Nhân các phương trình $ k = a + m, l = b + n, h = c + p $ ta được:

\[\begin{aligned} klh&=(a+m)(b+n)(c+p)=(ab+an+mb+mn)(c+p)\\ &=abc+mbc+mnc+abp+anp+mnp+mbp+anc\\ &=t(c+b+n+p+a+m)+2\sqrt{t^3}\\ &=2\sqrt{t^3}+t(k+l+h) \end{aligned}\]

Đặt $q=\sqrt{t} $, ta có pt: $ 2q ^ 3 + q ^ 2 (k + l + h) -klh = 0 $.

Giải pt bậc 3 ẩn $q$ ta tìm được $q$ và $Min_P=2\sqrt{t}=2q$