$\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{b^2+1}+\dfrac{1}{c^2+1}\ge \dfrac{3}{2}$

Bài toán: Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=3$. Cmr:
$$\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{b^2+1}+\dfrac{1}{c^2+1}\ge \dfrac{3}{2}$$



Lời giải:
BĐT cần chứng minh tương đương với:
$\sum \dfrac{a^2}{a^2+1}\le \dfrac{3}{2}$
$VT=\sum  \dfrac{3a^2}{3a^2+ab+bc+ca}=\sum \dfrac{3a^2}{a(a+b+c)+(2a^2+bc)}$
$\le \sum \dfrac{3}{4}. \left [ \dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{a^2}{2a^2+bc} \right ]$

Vậy ta cần chứng minh:
$$\sum \dfrac{a^2}{2a^2+bc}\le 1$$
Hay 
$$\sum \dfrac{bc}{2a^2+bc}\ge 1$$
BĐT trên luôn đúng do $\sum \dfrac{bc}{2a^2+bc}=\sum \dfrac{b^2c^2}{bc(2a^2+bc)}\ge \dfrac{(ab+bc+ca)^2}{\sum bc(2a^2+bc)}=1$

Dấu "=" xảy ra khi: $a=b=c=1$.