$(a+b)(b+c)(c+a)\geq \dfrac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)$

Bài toán:
Cho $a;b;c>0$. Cmr: 
$$(a+b)(b+c)(c+a)\geq \dfrac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)$$

$\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)}\leq \sqrt{ab}$

Bài toán:Cho $c>0$ và $a;b\geq c$. Chứng minh rằng:
$$\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)}\leq \sqrt{ab}$$

$(ab+bc+ca)^2\geq 3abc(a+b+c)$

Bài toán:Cho $a;b;c>0$. Cmr: $$(ab+bc+ca)^2\geq 3abc(a+b+c)$$

$(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)$

Bài toán:
Cho $a,b,c$ là số thực dương
Ta luôn có: $$(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)$$

$a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac$

Bài toán:Cho a,b,c là số thực dương.
Ta luôn có $$a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac$$

$(a+b+c)(ab+bc+ca\geq 9abc$

Bài toán:Với $a,b,c$ dương ta có: $$(a + b + c).(ab + bc + ac) \ge 9abc$$

\[\dfrac{1}{{1 + {a^2}}} + \dfrac{1}{{1 + {b^2}}} \ge \dfrac{2}{{1 + ab}}\]

Bài toán:Chứng minh với $ab \ge 1$ ta luôn có: \[\dfrac{1}{{1 + {a^2}}} + \dfrac{1}{{1 + {b^2}}} \ge \dfrac{2}{{1 + ab}}\]

\[\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{a} + \dfrac{c}{b} \ge a + b + c\]

Bài toán:

Chứng minh rằng: Với $a,b,c>0$ và $abc \le 1$ thì ta luôn có:\[\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{a} + \dfrac{c}{b} \ge a + b + c\]

Lời giải:

Ta có: $abc \le 1 \Rightarrow \dfrac{1}{{bc}} \ge a$

$\sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{xyz}\leq \sqrt[3]{(a+x)(b+y)(c+z)}$

Bài toán:

Cho $x,y,z,a,b,c>0$. CMR:

$\sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{xyz}\leq \sqrt[3]{(a+x)(b+y)(c+z)}$

$(a+b)^{2}(b+c)^{2}\geq 4abc(a+b+c)$

Bài toán:

Cmr: $(a+b)^{2}(b+c)^{2}\geq 4abc(a+b+c)$ với mọi $a,b,c$