$(a+b)(b+c)(c+a)\geq \dfrac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)$

Bài toán:
Cho $a;b;c>0$. Cmr: 
$$(a+b)(b+c)(c+a)\geq \dfrac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)$$


Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$$(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$$

$$=(a+b+c)(ab+bc+ca)-\sqrt[3]{abc}.\sqrt[3]{a^2b^2c^2}$$

$$\geq (a+b+c)(ab+bc+ca)-\dfrac{a+b+c}{3}.\dfrac{ab+bc+ca}{3}$$
$$=\dfrac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)$$