Cho ngũ giác lồi $MNPQR$. Hai góc ở đỉnh $N$ và $R$ bằng $90$ độ và $\widehat{NMP}=\widehat{RMQ}$. Gọi $A$ là giao điểm của $NQ$ và $PR$. Chứng minh $MA$ vuông góc với $NR$.

Bài toán: Cho ngũ giác lồi $MNPQR$. Hai góc ở đỉnh $N$ và $R$ bằng $90$ độ và $\widehat{NMP}=\widehat{RMQ}$. Gọi $A$ là giao điểm của $NQ$ và $PR$. Chứng minh $MA$ vuông góc với $NR$.

Lời giải:

Kẻ $RF\perp NQ; NG\perp RP; MD\perp FR; ME\perp GN$

Ta có: 

$$\Delta RFQ\sim \Delta MDR\Rightarrow \dfrac{RF}{MD}=\dfrac{RQ}{RM}$$

Tương tự ta có: $$\dfrac{ME}{NG}=\dfrac{MN}{PN}$$

$$\Delta MRQ\sim \Delta MNP\Rightarrow \dfrac{RQ}{RM}=\dfrac{PN}{MN}\Rightarrow \dfrac{RQ}{RM}.\dfrac{MN}{PN}=1$$

Áp dụng ba đẳng thức trên vào đẳng thức sau ta có:

$\Delta RFA\sim \Delta NGA\Rightarrow \dfrac{AF}{AG}=\dfrac{RF}{NG}=\dfrac{RF}{MD}.\dfrac{ME}{NG}.\dfrac{MD}{ME}=\dfrac{RQ}{RM}.\dfrac{MN}{PN}.\dfrac{MD}{ME}=\dfrac{MD}{ME}$

Vậy ta có: $\dfrac{AF}{AG}=\dfrac{MD}{ME}$

hay $\dfrac{MD}{FA}=\dfrac{ME}{GA}~(*)$ 

Lấy $RF\cap MA\equiv H;NG\cap MA\equiv H'$

Có: $\dfrac{MH}{AH}=\dfrac{MD}{FA}=\dfrac{ME}{GA}=\dfrac{MH'}{AH'}$ (do $(*)$)

$\Rightarrow H\equiv H'$

Vậy $A$ là trực tâm tam giác $HRN$

Vậy $MA$ vuông góc với $RN$.