$OH^2 = 9R^2 - a^2 -b^2 - c^2$

Bài toán:

Cho tam giác $ABC$ có 3 cạnh là $a,b,c$, trực tâm $H$, $O$ và $R$ theo thứ tự là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. Chứng minh rằng:

$$OH^2 = 9R^2 - a^2 -b^2 - c^2$$

Lời giải:

Lấy các điểm giống hình vẽ

$\triangleright$ Bổ đề 1:

Chứng minh rằng: $O;H;G$ thẳng hàng

Chứng minh: Đường thẳng Euler

$\triangleright$ Bổ đề 2:

Chứng minh rằng: $OH=3OG$

Chứng minh: Do $AH||OM$ nên $\Delta AHG\sim \Delta MOG~(g-g)$

Mà $AG=2GM$ nên $HG=2OG$
$\Rightarrow OH=3OG$

$\triangleright$ Bổ đề 3:

Chứng minh định lý Stewart

Suy ra: $b^2.\dfrac{a}{2}+c^2.\dfrac{a}{2}=a\left(AM^2+\dfrac{a^2}{4}\right)$

Suy ra: $AM^2=\dfrac{2b^2+2c^2-a^2}{4}$

$\triangleright$ Trở lại bài toán

Áp dụng định lý Stewart cho tam giác $AOA'$ ta có:

$AA'.\left(OG^2+AG.GA'\right)=OA^2.GA'+OA'^2.GA$

Đặt $AA'=3n$

$\Rightarrow 3n.\left(OG^2+2n^2\right)=R^2.n+2n\left(R^2-\dfrac{a^2}{4}\right)$

$\Leftrightarrow 3OG^2+6n^2=R^2+2R^2-\dfrac{a^2}{2}$

$\Leftrightarrow OG^2=R^2-2n^2-\dfrac{a^2}{6}$

Vậy ta có:

$OH^2=(3OG)^2$

$=9R^2-18n^2-\dfrac{3}{2}.a^2$

$=9R^2-\dfrac{3}{2}.a^2-2.(3n)^2$

$=9R^2-\dfrac{3}{2}.a^2-\dfrac{2b^2+2c^2-a^2}{2}$

$=9R^2-a^2-b^2-c^2$

Kết thúc chứng minh $\blacksquare$

Một lời giải khác dùng véc tơ:

Do H là trực tâm tam giác ABC nên :

$\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$

$\Rightarrow \overrightarrow{OH}^{2}=(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})^2$

$\Rightarrow OH^{2}=(OA^{2}+OB^{2}+OC^{2})+2\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC}+2\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OA}$

$OH^{2}=3R^{2}+ \sum (OA^{2}+OB^{2}-AB^{2})$

$\Rightarrow OH^{2}=9R^{2}-a^{2}-b^{2}-c^{2}$