$\dfrac{1}{\sqrt{ x_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{x_2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{x_{2012}}}=125$

Bài toán:

Cho 2012 số nguyên dương $x_1;x_2;...;x_{2012}$ thỏa mãn: $\dfrac{1}{\sqrt{ x_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{x_2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{x_{2012}}}=125$

Chứng minh rằng trong 2012 số trên có ít nhất 3 số bằng nhau.

Lời giải:

Giả sử trong $2012$ số trên không có quá hai số bằng nhau

$\Rightarrow 125\leq 2\left ( 1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{1006}} \right )$
$<2\left ( 1+\dfrac{2}{1+\sqrt{3}}+\dfrac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{4}}+...+\dfrac{2}{\sqrt{1005}+\sqrt{1007}} \right )$

$=2\left(\sqrt{1007}+\sqrt{1006}-\sqrt{2}\right)<125$

Vậy có ít nhất ba số bằng nhau.