$\sum bc\sqrt{a^2-1}\leq \dfrac{3}{2}\sqrt{3}abc$

Bài toán:
Cho $a;b;c>0$ thỏa mãn: $a+b+c+2=abc$. Cmr:
$$\sum bc\sqrt{a^2-1}\leq \dfrac{3}{2}\sqrt{3}abc$$


Lời giải:
BĐT$\Leftrightarrow$ $\sum \sqrt{1-\dfrac{1}{a^2}}\leq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$
Áp dụng bđt BCS ta có:
$\left(\sum \sqrt{1-\dfrac{1}{a^2}}\right)^2\leq 3\sum \left(1-\dfrac{1}{a^2}\right)=9-3\sum \dfrac{1}{a^2}$ (1)
Vì $a+b+c+2=abc$ nên với $x;y;z>0$ ta có: $a=\dfrac{y+z}{x};b=\dfrac{z+x}{y};c=\dfrac{x+y}{z}$
Áp dụng bđt BCS và bđt Nesbit ta có:
$\Rightarrow$ $\sum \dfrac{1}{a^2}=\sum \left(\dfrac{x}{y+z}\right)^2\geq \dfrac{1}{3}\left(\sum \dfrac{x}{y+z}\right)^2\geq \dfrac{1}{3}.\left(\dfrac{3}{2}\right)^2=\dfrac{3}{4}$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra
$\left(\sum \sqrt{1-\dfrac{1}{a^2}}\right)^2\leq \dfrac{27}{4}$
$\Rightarrow$ đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=2$.