Cho đường tròn (O; 3cm) có hai đường kính
AB và CD vuông góc với nhau. Gọi M là điểm tùy ý thuộc đoạn OC ( M khác O và
C). Tia BM cắt cắt đường tròn (O) tại N.
1)
Chứng minh AOMN là một tứ giác nội tiếp.
2)
Chứng minh ND là phân giác của $\widehat{ANB}$.
3)
Tính: $\sqrt{BM.BN}$
4) Gọi E và F lần lượt là hai điểm thuộc các đường thẳng
AC và AD sao cho M là trung điểm của EF. Nếu cách xác định các điểm E, F và chứng
minh rằng tổng (AE + AF) không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.Hình vẽ:
Lời giải:
1) Chứng minh $AOMN$ là một tứ giác nội tiếp.
Ta có : $$\widehat{ANB}=90^o$$ (góc nội tiếp chắn nửa $(O)$)
$$\widehat{AOM}=90^o$$ (vì AB ^CD tại $O$)
Suy
ra: $\widehat{ANB}+\widehat{AOM}=180^{\circ}$
Þ tứ giác $AOMN$ nội tiếp.
2) Chứng minh :
ND là phân giác của $\widehat{ANB}$.
Ta có : $AB,
CD$ là đường kính của $(O)$.
$AB$ ^ $CD$ (gt) Þ $\widetilde{AD}=\widetilde{BD}$
Þ $\widehat{AN\text{D}}=\widehat{BN\text{D}}$
Þ $ND$ là phân giác của góc $ANB$.
3) Tính: $\sqrt{BM.BN}$
Do DBOM $\sim $ DBNA (gg)
Þ $\frac{BO}{BN}=\frac{BM}{BA}$
Þ BM.BN = BO.BA=3.6=18
Þ $\sqrt{BN.BM}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$cm
4) Ta có: D EAF vuông tại A ($\widehat{CA\text{D}}={{90}^{0}}$, E ÎAC, FÎ AD) có M là trung điểm của EF
Þ MA = ME
= MF
Þ M là tâm của đường tròn qua M có bán
kính MA
Þ Điểm E, F là giao điểm của đường tròn
(M; MA) với AC và AD.
Ta có: AM = BM ( vì M nằm trên CD là
trung trực của AB)
Þ MA = MB
= ME = MFÞ tứ giác AEBF nội tiếp
Þ $\widehat{BF\text{D}}=\widehat{A\text{E}B}$
Ta lại có: $$\widehat{BDF}\text{ }=\text{ }\widehat{BCE} = 90^o$$
suy ra: $$\widehat{DBF}\text{
}=\text{ }\widehat{CBE}$$
Xét tam giác BDF
và tam giác BCE, ta có:
BC = BD ;
$$\widehat{DBF}\text{ }=\text{
}\widehat{CBE}$$
$\widehat{BDF}=\widehat{BCE}=90^{\circ}$
nên DBDF = DBCE(gcg) ÞDF = CE
Vậy : $$AE + AF = (AC + CE) + AF=AC+(CE+AF) = AC + (DF+AF) = AC+ AD=2AD$$
Mà DOAD vuông cân tại O nên AD = $\sqrt{O{{A}^{2}}+O{{\text{D}}^{2}}}=\sqrt{{{3}^{2}}+{{3}^{2}}}=3\sqrt{2}$
Þ AE + AF = $6\sqrt{2}$.
Vậy tổng AE + AF không phụ thuộc vào vị trí
điểm M.
🥰
Trả lờiXóa