Cho đường tròn (O; 3cm) có hai đường kính
AB và CD vuông góc với nhau. Gọi M là điểm tùy ý thuộc đoạn OC ( M khác O và
C). Tia BM cắt cắt đường tròn (O) tại N.
1)
Chứng minh AOMN là một tứ giác nội tiếp.
2)
Chứng minh ND là phân giác của \widehat{ANB}.
3)
Tính: \sqrt{BM.BN}
4) Gọi E và F lần lượt là hai điểm thuộc các đường thẳng
AC và AD sao cho M là trung điểm của EF. Nếu cách xác định các điểm E, F và chứng
minh rằng tổng (AE + AF) không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.Hình vẽ:
Lời giải:
1) Chứng minh AOMN là một tứ giác nội tiếp.
Ta có : \widehat{ANB}=90^o (góc nội tiếp chắn nửa (O))
\widehat{AOM}=90^o (vì AB ^CD tại O)
Suy
ra: \widehat{ANB}+\widehat{AOM}=180^{\circ}
Þ tứ giác AOMN nội tiếp.
2) Chứng minh :
ND là phân giác của \widehat{ANB}.
Ta có : AB,
CD là đường kính của (O).
$AB$ ^ CD (gt) Þ \widetilde{AD}=\widetilde{BD}
Þ \widehat{AN\text{D}}=\widehat{BN\text{D}}
Þ ND là phân giác của góc ANB.
3) Tính: \sqrt{BM.BN}
Do DBOM \sim DBNA (gg)
Þ \frac{BO}{BN}=\frac{BM}{BA}
Þ BM.BN = BO.BA=3.6=18
Þ \sqrt{BN.BM}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}cm
4) Ta có: D EAF vuông tại A (\widehat{CA\text{D}}={{90}^{0}}, E ÎAC, FÎ AD) có M là trung điểm của EF
Þ MA = ME
= MF
Þ M là tâm của đường tròn qua M có bán
kính MA
Þ Điểm E, F là giao điểm của đường tròn
(M; MA) với AC và AD.
Ta có: AM = BM ( vì M nằm trên CD là
trung trực của AB)
Þ MA = MB
= ME = MFÞ tứ giác AEBF nội tiếp
Þ \widehat{BF\text{D}}=\widehat{A\text{E}B}
Ta lại có: \widehat{BDF}\text{ }=\text{ }\widehat{BCE} = 90^o
suy ra: \widehat{DBF}\text{
}=\text{ }\widehat{CBE}
Xét tam giác BDF
và tam giác BCE, ta có:
BC = BD ;
\widehat{DBF}\text{ }=\text{
}\widehat{CBE}
\widehat{BDF}=\widehat{BCE}=90^{\circ}
nên DBDF = DBCE(gcg) ÞDF = CE
Vậy : AE + AF = (AC + CE) + AF=AC+(CE+AF) = AC + (DF+AF) = AC+ AD=2AD
Mà DOAD vuông cân tại O nên AD = \sqrt{O{{A}^{2}}+O{{\text{D}}^{2}}}=\sqrt{{{3}^{2}}+{{3}^{2}}}=3\sqrt{2}
Þ AE + AF = 6\sqrt{2}.
Vậy tổng AE + AF không phụ thuộc vào vị trí
điểm M.
🥰
Trả lờiXóa