Bài toán:
Cho đường tròn tâm $O$, đường kính $AB$. Lấy $C$ thuộc $(O)$ $(C$ không trùng với $A;B)$, $M$ là điểm chính giữa cung nhỏ $AC$. Các đường thẳng $AM$ và $BC$ cắt nhau tại $I$, các đường thẳng $AC$ và $BM$ cắt nhau tại $K$.
$a/$ Cm: $\widehat{ABM}=\widehat{IBM}$ và $\triangle ABI $ cân.
$b/$ Cm tứ giác $MICK$ nội tiếp đường tròn.
$c/$ Đường thẳng $BM$ cắt tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$ ở $N$. Cm đường thẳng $NI$ là tiếp tuyến của $(B;BA)$ và $NI\perp MO$.
$d/$ Đường tròn ngoại tiếp $\triangle BIK$ cắt đường tròn $(B;BA)$ tại $D$ $(D$ không trùng với $I)$. Cm: $A;C;D$ thẳng hàng.
Hình vẽ:
Lời giải
$a>$ $M$ là điểm chính giữa cung $AC$
$\Rightarrow \angle ABM= \angle IBM$
Mà $AMB = 90^o$
Vậy $\Delta AMB = \Delta IMB$ ( ch-gn)
Và có ngay $\Delta ABI$ cân tại $B$ (đpcm)
$b>$ $MICK$ nội tiếp vì $\angle IMK + \angle ICK =180^o$
$c>$ Hiển nhiên có $\angle NAM =\angle NBA$ ( phụ $MAB$)
Lại có $\angle ABM= \angle MBI$ (cmt)
$\Rightarrow ANIB$ nội tiếp hay $\angle NIB =90^o$ (đpcm)
$+$ $\angle CBO=\angle MOA$ $(=\frac{1}{2}$ sđ cung $AC)$
$\Rightarrow MO || IB$ hay $MO$ vuông góc $NI$ (đpcm)
$d>$ Giả sử $AC$ giao $(B;BA)$ tại $D'$
Ta có: $\angle ID'A = \angle MBI$ $(=\frac{1}{2}$ sđ cung $AI)$
Vậy $MID'B$ nội tiếp hay $D' \in (IKB)$ $\Rightarrow D' \equiv D$
$\Rightarrow$ đpcm.
$\blacksquare \blacksquare \blacksquare$
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét