Cho đường tròn tâm $O$, đường kính $AB$. Lấy $C$ thuộc $(O)$ $(C$ không trùng với $A;B)$, $M$ là điểm chính giữa cung nhỏ $AC$. Các đường thẳng $AM$ và $BC$ cắt nhau tại $I$, các đường thẳng $AC$ và $BM$ cắt nhau tại $K$.

Bài toán:

Cho đường tròn tâm $O$, đường kính $AB$. Lấy $C$ thuộc $(O)$ $(C$ không trùng với $A;B)$, $M$ là điểm chính giữa cung nhỏ $AC$. Các đường thẳng $AM$ và $BC$ cắt nhau tại $I$, các đường thẳng $AC$ và $BM$ cắt nhau tại $K$.

$a/$ Cm: $\widehat{ABM}=\widehat{IBM}$ và $\triangle ABI$ cân.

$b/$ Cm tứ giác $MICK$ nội tiếp đường tròn.

$c/$ Đường thẳng $BM$ cắt tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$ ở $N$. Cm đường thẳng $NI$ là tiếp tuyến của $(B;BA)$ và $NI\perp MO$.

$d/$ Đường tròn ngoại tiếp $\triangle BIK$ cắt đường tròn $(B;BA)$ tại $D$ $(D$ không trùng với $I)$. Cm: $A;C;D$ thẳng hàng.

Hình vẽ:

Lời giải

$a>$ $M$ là điểm chính giữa cung $AC$

$\Rightarrow \angle ABM= \angle IBM$

Mà $AMB = 90^o$

Vậy $\Delta AMB = \Delta IMB$ ( ch-gn)

Và có ngay $\Delta ABI$ cân tại $B$ (đpcm)

$b>$ $MICK$ nội tiếp vì $\angle IMK + \angle ICK =180^o$

$c>$ Hiển nhiên có $\angle NAM =\angle NBA$ ( phụ $MAB$)

Lại có $\angle ABM= \angle MBI$ (cmt)

$\Rightarrow ANIB$ nội tiếp hay $\angle NIB =90^o$ (đpcm)

$+$ $\angle CBO=\angle MOA$ $(=\frac{1}{2}$ sđ cung $AC)$

$\Rightarrow MO || IB$ hay $MO$ vuông góc $NI$ (đpcm)

$d>$ Giả sử $AC$ giao $(B;BA)$ tại $D'$

Ta có: $\angle ID'A = \angle MBI$ $(=\frac{1}{2}$ sđ cung $AI)$

Vậy $MID'B$ nội tiếp hay $D' \in (IKB)$ $\Rightarrow D' \equiv D$

$\Rightarrow$ đpcm.

$\blacksquare \blacksquare \blacksquare$