$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+2011}+\sqrt{y+2012}+\sqrt{z+2013} &=\sqrt{y+2011}+\sqrt{z+2012}+\sqrt{x+2013} \\ \sqrt{y+2011}+\sqrt{z+2012}+\sqrt{x+2013}&=\sqrt{z+2011}+\sqrt{x+2012}+\sqrt{y+2013} \end{matrix}\right.$

Bài toán: 

Cho các số thực $x,y,z$ thoả mãn:

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+2011}+\sqrt{y+2012}+\sqrt{z+2013} &=\sqrt{y+2011}+\sqrt{z+2012}+\sqrt{x+2013} \\ \sqrt{y+2011}+\sqrt{z+2012}+\sqrt{x+2013}&=\sqrt{z+2011}+\sqrt{x+2012}+\sqrt{y+2013} \end{matrix}\right.$

Chứng minh: $x=y=z$

Lời giải:

$PT (1) \Leftrightarrow (\sqrt{x+2013}-\sqrt{x+2012})+(\sqrt{x+2012}-\sqrt{x+2011})$

$=(\sqrt{y+2012}-\sqrt{y+2011})+(\sqrt{z+2013}-\sqrt{z+2012})$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{x+2012}+\sqrt{x+2011}}+\dfrac{1}{\sqrt{x+2013}+\sqrt{x+2012}}$

$= \dfrac{1}{\sqrt{y+2012}+\sqrt{y+2011}}+\dfrac{1}{\sqrt{z+2013}+\sqrt{z+2012}}$

Giả sử: $x\geq y;x\geq z$, ta có:

$\dfrac{1}{\sqrt{x+2012}+\sqrt{x+2011}}\leq \dfrac{1}{\sqrt{y+2012}+\sqrt{y+2011}}$

$\dfrac{1}{\sqrt{x+2013}+\sqrt{x+2012}}\leq \dfrac{1}{\sqrt{z+2013}+\sqrt{z+2012}}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{x+2012}+\sqrt{x+2011}}+\dfrac{1}{\sqrt{x+2013}+\sqrt{x+2012}}$

$\leq \dfrac{1}{\sqrt{y+2012}+\sqrt{y+2011}}+\dfrac{1}{\sqrt{z+2013}+\sqrt{z+2012}}$

Mà $\dfrac{1}{\sqrt{x+2012}+\sqrt{x+2011}}+\dfrac{1}{\sqrt{x+2013}+\sqrt{x+2012}}$

$= \dfrac{1}{\sqrt{y+2012}+\sqrt{y+2011}}+\dfrac{1}{\sqrt{z+2013}+\sqrt{z+2012}}$

$\Rightarrow x=y=z$.

 Vậy $x=y=z$