$a^4+b^4+c^4\geq a^3+b^3+c^3$

Bài toán:

Cho $a+b+c=3$

Cmr: $a^4+b^4+c^4\geq a^3+b^3+c^3$

  

Lời giải:

Ta có: $a^4-a^3-a+1=(a-1)^2(a^2+a+1)\geq 0$ mọi $a$

Chứng minh tương tự ta có:

$b^4-b^3-b+1\geq 0$

$c^4-c^3-c+1\geq 0$

Cộng 3 BĐT trên lại ta có:

$a^4+b^4+c^4\geq a^3+b^3+c^3+a+b+c-3=a^3+b^3+c^3$

(Do $a+b+c=3$)

Dấu = xảy ra khi: $a=b=c=1$