Thi thử KHTN đợt $5$ ( vòng $2$ ) năm học 2014-2015

                                                              Thi thử KHTN đợt $5$ ( vòng $2$ ) 

Câu $1$ : Cho các số thực $x,y$ thỏa mãn đẳng thức

                                              $x^{3}+y^{3}+(x+y)^{3}+30xy=2000$

Chứng minh $x+y=10$

Câu $2$ : a) Tìm số tự nhiên $n$ thỏa mãn $n^{4}+n^{3}+n^{2}+n+1$ là số chính phương .

                 b) Cho $(a+b)(b+c)(a+c)=1$ và $a,b,c>0$ . Tìm max $ab+bc+ac$

Câu $3$ : Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ . Gọi $P$ là một điểm trong tam giác sao cho $AP$ là phân giác góc $BAC$ . Kẻ $PF,PE$ lần lượt vuông góc với $AB,AC$ . Kẻ đường vuông góc với $AP$ tại $A$ cắt $(O)$ tại $D$ , kẻ $DP$ cắt $EF$ tại $Q$

Gọi $M$ là trung điểm $BC$.

a) Chứng minh $MQ$ song song $AP$

b) Gọi $(K),(L)$ là các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $BQF$ và $CQE$ . Chứng minh rằng $(K)$ và $(L)$ cắt nhau tại một điểm trên $(O)$

c) Kéo dài $QM$ cắt $(K),(L)$ lần lượt tại $S,T$ . Chứng minh rằng trung trực $ST$ và $AO$ giao nhau tại một điểm trên $(O)$ 

Câu $4$ : Chứng minh với mọi số tự nhiên $n$ thì tồn tại các số nguyên dương phân biêt .$a_{1},a_{2},........a_{n}$ mà với mọi $1\leq i < j \leq n$ mà $a_{i}+a_{j}$ chia hết cho $a_{j}-a_{i}$

Thảo luận tại đây