$\cos \dfrac{A-B}{2}+\cos \dfrac{B-C}{2}+\cos \dfrac{C-A}{2}\le \cos \left [ k\left (A-\dfrac{\pi}{3}\right ) \right ]+\cos \left [ k\left (B-\dfrac{\pi}{3}\right ) \right ]+\cos \left [ k\left (C-\dfrac{\pi}{3}\right ) \right ]$

Bài toán:

Cho tam giác $ABC$, $k\in \left [ 0;\dfrac{3}{4} \right ]$

Cmr:

$\cos \dfrac{A-B}{2}+\cos \dfrac{B-C}{2}+\cos \dfrac{C-A}{2}\le \cos \left [ k\left (A-\dfrac{\pi}{3}\right ) \right ]+\cos \left [ k\left (B-\dfrac{\pi}{3}\right ) \right ]+\cos \left [ k\left (C-\dfrac{\pi}{3}\right ) \right ]$

(Đề thi KS lớp 11 trường THPT Nguyễn Du, Thái Bình, năm học 2015-2016)