$\cos \dfrac{A-B}{2}+\cos \dfrac{B-C}{2}+\cos \dfrac{C-A}{2}\le \cos \left [ k\left (A-\dfrac{\pi}{3}\right ) \right ]+\cos \left [ k\left (B-\dfrac{\pi}{3}\right ) \right ]+\cos \left [ k\left (C-\dfrac{\pi}{3}\right ) \right ]$

Bài toán:

Cho tam giác $ABC$, $k\in \left [ 0;\dfrac{3}{4} \right ]$

Cmr:

$\cos \dfrac{A-B}{2}+\cos \dfrac{B-C}{2}+\cos \dfrac{C-A}{2}\le \cos \left [ k\left (A-\dfrac{\pi}{3}\right ) \right ]+\cos \left [ k\left (B-\dfrac{\pi}{3}\right ) \right ]+\cos \left [ k\left (C-\dfrac{\pi}{3}\right ) \right ]$

(Đề thi KS lớp 11 trường THPT Nguyễn Du, Thái Bình, năm học 2015-2016)

Lời giải:

+ $\dfrac{1}{2}.\left [ \cos \dfrac{A-B}{2}+\cos \dfrac{B-C}{2}  \right ]=\cos \dfrac{A-C}{4}.\cos \dfrac{A-2B+C}{4}=\cos \dfrac{A-C}{4}.\cos \dfrac{\pi -3B}{4}$

+ Do $-\dfrac{\pi}{4}<\dfrac{A-C}{4}<\dfrac{\pi}{4}$ nên $0<cos \dfrac{A-C}{4}\le 1$

$\Rightarrow \dfrac{1}{2}.\left [ \cos \dfrac{A-B}{2}+\cos \dfrac{B-C}{2}  \right ]\le \cos \dfrac{\pi -3B}{4}=\cos \left (\dfrac{3B}{4}-\dfrac{\pi}{4}  \right )$ $(*)$

+ Với $A\le \pi$ thì 

$0\le \left | k\left ( B-\dfrac{\pi}{3} \right ) \right |\le \dfrac{\pi}{2}$ (tức góc càng to thì giá trị của $\cos$ càng nhỏ nên khi góc lớn nhất thì $\cos$ nhỏ nhất)

$\Leftrightarrow \cos \left [ \dfrac{3}{4}\left ( B-\dfrac{\pi}{3} \right ) \right ]\le\cos \left [ k\left ( B-\dfrac{\pi}{3} \right ) \right ]$ $(**)$

Tương tự như $(*)$ rồi cộng lại: $VT\le \cos \left [ \dfrac{3}{4}\left ( A-\dfrac{\pi}{3} \right ) \right ]+\cos \left [ \dfrac{3}{4}\left ( B-\dfrac{\pi}{3} \right ) \right ]+\cos \left [ \dfrac{3}{4}\left ( C-\dfrac{\pi}{3} \right ) \right ]\le VP$ (do $(**)$)

Dấu bằng xảy ra khi tam giác $ABC$ đều.