$\dfrac{\tan x}{1+\tan y.\tan z}+\dfrac{\tan y}{1+\tan z.\tan t}+\dfrac{\tan z}{1+\tan t.\tan x}+\dfrac{\tan t}{1+\tan x.\tan y}=2$

Bài toán:
Tìm các góc $x,y,z,t$ biết
$\left\{\begin{matrix}0<x,y,z,t<\dfrac{\pi}{2},\tan x+\tan y+\tan z+\tan t=4  &  & \\ \dfrac{\tan x}{1+\tan y.\tan z}+\dfrac{\tan y}{1+\tan z.\tan t}+\dfrac{\tan z}{1+\tan t.\tan x}+\dfrac{\tan t}{1+\tan x.\tan y}=2  &  &  \end{matrix}\right.$.

(Đề thi cuối học kì 1 lớp 11 trường THPT Nguyễn Du, Thái Bình, năm học 2015-2016)

Lời giải:

Tổng hợp các phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Tổng hợp các phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Xem tại đây:

http://diendantoanhoc.net/topic/86102-t%E1%BB%95ng-h%E1%BB%A3p-c%C3%A1c-ph%C6%B0%C6%A1ng-ph%C3%A1p-ch%E1%BB%A9ng-minh-b%E1%BA%A5t-%C4%91%E1%BA%B3ng-th%E1%BB%A9c/

$M=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+2(x+y+z)$

Bài toán:
Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}=12$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$$M=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+2(x+y+z)$$.

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 TỈNH THÁI BÌNH NĂM 2015-2016

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM 2015-2016

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 

THÁI BÌNH

Môn: TOÁN

Câu 1. (3,0 điểm)  Cho $x=\sqrt{\dfrac{4-\sqrt{12}}{4+\sqrt{12}}}$.

Tính giá trị biểu thức

$$A=\dfrac{x^4-3x^3-2x^2+x+3}{x^3-2x^2-5x+3}$$.

Câu 2. (3,0 điểm) 

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $(d):y=ax+b (a\neq 0)$. Tìm $a$ và $b$ biết $(d)$ đi qua điểm $M(1;2)$ và cắt trục $Ox,Oy$ lần lượt tại $A,B$ phân biệt sao cho $P=\dfrac{1}{OA^2}+\dfrac{1}{OB^2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 3. (4,0 điểm)

1. Giải phương trình:

$$x^3-9x^2+6x-6-3\sqrt[3]{6x^2+2}=0$$.

2. Giải hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix}\sqrt{x}\left ( 1+\dfrac{3}{x+3y} \right )=2  &  & \\ \sqrt{7y}\left ( 1-\dfrac{3}{x+3y} \right )=4\sqrt{2}  &  &  \end{matrix}\right.$$.

Câu 4. (2,0 điểm) 

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}=12$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

$$M=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+2(x+y+z)$$.

Câu 5. (3,0 điểm)

Cho tam giác $ABC$ có bán kính đường tròn nội tiếp là $r$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,CA,AB$. Biết rằng $\dfrac{1}{AM}+\dfrac{1}{BN}+\dfrac{1}{CP}=\dfrac{1}{r}$.

Chứng minh tam giác $ABC$ là tam giác đều.

Câu 6. (3,0 điểm)

Cho nửa đường tròn $(S)$ tâm $O$ đường kính $AB$. Điểm $H$ thuộc đoạn $AO$ ($H$ không trùng với $A$ và $O$). Kẻ $HC$ vuông góc với $AB$ ($C$ nằm trên nửa đường tròn $(S)$). Tiếp tuyến với nửa đường tròn $(S)$ tại $A$ và $C$ cắt nhau ở $M$,$BM$ cắt $CH$ tại $I$. Đường thẳng qua $I$ song song với $MC$ cắt cung tròn tại điểm $E$. Chứng minh $AB$ là tiếp tuyến của đường tròn tâm $C$ bán kính $CE$.

Câu 7. (2,0 điểm)

Tìm các số nguyên tố $x,y,z,t$ thỏa mãn hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix}x=3t+1  &  & \\ y=2t^2+3  &  & \\ z=t^3+2 \end{matrix}\right.$$.

---HẾT---

Thảo luận tại: http://diendantoanhoc.net/forum/topic/151073-%C4%91%E1%BB%81-thi-ch%E1%BB%8Dn-h%E1%BB%8Dc-sinh-gi%E1%BB%8Fi-l%E1%BB%9Bp-9-t%E1%BB%89nh-th%C3%A1i-b%C3%ACnh-n%C4%83m-2015-2016/#entry604072

$\dfrac{a+1}{b+1}+\dfrac{b+1}{c+1}+\dfrac{c+1}{a+1}\leq \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}$

Bài toán:
Cho $a, b, c$ dương. Chứng minh rằng :

$\dfrac{a+1}{b+1}+\dfrac{b+1}{c+1}+\dfrac{c+1}{a+1}\leq \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}$

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 TỈNH THÁI BÌNH NĂM HỌC 2015-2016

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

             THÁI BÌNH

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2015-2016

Môn: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu I. (6,0 điểm)
1. Tính giới hạn:
$$I=\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{2015^x-\sqrt{1+2014x}}{ln(1+2016x)}$$.
2. Cho hàm số $y=x^3-3x^2+3mx+1$ ($m$ là tham số)
Tìm $m$ để đồ thị hàm số có cực trị thỏa mãn khoảng cách từ điểm cực tiểu đến trục tung và đến đường thẳng $(d):y=1$ là bằng nhau.
Câu II. (3,0 điểm)
Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix}x+\sqrt{x^2+1}=\sqrt{y^2-1}+y  &  & \\ 3x^2-4y^2+xy-x+4y=0  &  &  \end{matrix}\right. (x,y\in R).$$
Câu III. (2,0 điểm)
Giải phương trình: $$\dfrac{\cot^2 x+\cot x}{\cot^2 x+1}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos\left ( x-\dfrac{\pi}{4} \right )$$.
Câu IV. (2,0 điểm)
Từ các số $0,1,2,3,4$ lập các số chẵn có bốn chữ số đôi một khác nhau. Lấy ngẫu nhiên một số. Tính xác suất để lấy được số lớn hơn $2015$.
Câu V. (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng $Oxy$ cho hình thang vuông $ABCD$ (vuông tại $A$ và $D$) có $B(0;1),CD=3AB$. Hai điểm $M(1;-1),N(-1;2)$ lần lượt nằm trên hai đường thẳng $AD$ và $DC$. Biết diện tích hình thang $ABCD$ bằng $2$. Viết phương trình đường thẳng $AD$ biết $AD$ không song song với trục tung.
Câu VI. (3,0 điểm)
Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác vuông tại $C$, với $BC=a,BB'=2a,AB'=3a$. Gọi $M$ là trung điểm $A'B',I$ là giao điểm của $BM$ và $AB'$. Tính thể tích tứ diện $IABC$ và khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(IAC)$ theo $a$.
Câu VII. (2,0 điểm)
Cho ba số dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{2ac}{(a+c)^2}\ge 2$$.

---HẾT---

Tuyển tập Bộ 3 câu phân loại trong các đề thi thử THPT Quốc gia 2015 môn toán

Bản quyền:

 http://diendantoanhoc.net/forum/topic/150077-tuy%E1%BB%83n-t%E1%BA%ADp-b%E1%BB%99-3-c%C3%A2u-ph%C3%A2n-lo%E1%BA%A1i-trong-c%C3%A1c-%C4%91%E1%BB%81-thi-th%E1%BB%AD-thpt-qu%E1%BB%91c-gia-2015-m%C3%B4n-to%C3%A1n/

.

Xuất phát từ thực tế kì thi THPT Quốc gia 2015, với các bạn sử dụng kết quả môn Toán để xét tuyển đại học, thì sự cạnh tranh chủ yếu diễn ra ở bộ ba câu phân loại. Bộ ba câu này thường rơi vào các chủ đề Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình, Hình học tọa độ phẳng, Bất đẳng thức - Tìm GTLN, GTNN.

$\cos \dfrac{A-B}{2}+\cos \dfrac{B-C}{2}+\cos \dfrac{C-A}{2}\le \cos \left [ k\left (A-\dfrac{\pi}{3}\right ) \right ]+\cos \left [ k\left (B-\dfrac{\pi}{3}\right ) \right ]+\cos \left [ k\left (C-\dfrac{\pi}{3}\right ) \right ]$

Bài toán:

Cho tam giác $ABC$, $k\in \left [ 0;\dfrac{3}{4} \right ]$

Cmr:

$\cos \dfrac{A-B}{2}+\cos \dfrac{B-C}{2}+\cos \dfrac{C-A}{2}\le \cos \left [ k\left (A-\dfrac{\pi}{3}\right ) \right ]+\cos \left [ k\left (B-\dfrac{\pi}{3}\right ) \right ]+\cos \left [ k\left (C-\dfrac{\pi}{3}\right ) \right ]$

(Đề thi KS lớp 11 trường THPT Nguyễn Du, Thái Bình, năm học 2015-2016)

Phương pháp điều chỉnh số mũ trong chứng minh bất đẳng thức

CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Bằng phương pháp điều chỉnh số mũ

Nguyễn Văn Nho - GV THPT Nguyễn Duy Trinh, Nghi Lộc, Nghệ An

 

Phương pháp UCT cho hệ phương trình (Phần 2)

Phương pháp UCT cho hệ phương trình (Phần 2)

Tác giả: nthoangcute

Phần 1: http://truongviethoang99.blogspot.com/2014/08/phuong-phap-uct-giai-he-phuong-trinh.html#more

$\bigstar$ Ví dụ 1:

$\left\{\begin{matrix}x^3+y^2=(x-y)(xy-1)~ (1)  &  & \\ x^3-x^2+y+1=xy(x-y+1)~ (2)  &  &  \end{matrix}\right.$

Đánh giá:- Bậc của $x$ cao hơn bậc của $y$
- Các biến $x,y$ không độc lập với nhau
- Bậc cao nhất của $x$ và $y$ ở hai phương trình là như nhau.
Vì bậc $x$ cao hơn nên ta viết lại 2 pt theo ẩn $y$ (Để dễ tính toán)
$\left\{\begin{matrix}y^2(x+1)-y(x^2+1)+x^3+x=0  &  & \\ y^2x-y(x^2+x-1)+x^3-x^2+1=0  &  &  \end{matrix}\right.$
Chúng ta nghĩ tới việc phân tích 1 trong 2 pt trên thành nhân tử, nhưng rất tiếc $\Delta $ của nó không chính phương.

Ta sẽ tìm $x$ để 2 pt trên là tương đương, tức là $PT(1)$ gấp $k$ lần $PT(2)$
$\dfrac{x+1}{x}=\dfrac{x^2+1}{x^2+x-1}=\dfrac{x^3+x}{x^3-x^2+1}=k$
$\Leftrightarrow x=1$ và $k=2$

Tức là $2.PT(2)-PT(1)=0$
Từ đó ta có lời giải bài toán.

$P=2(a+b+c)+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$

Bài toán: 
Cho ba số dương $a,b,c$ thay đổi thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$P=2(a+b+c)+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$$

$\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{b^2+1}+\dfrac{1}{c^2+1}\ge \dfrac{3}{2}$

Bài toán: Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=3$. Cmr:
$$\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{b^2+1}+\dfrac{1}{c^2+1}\ge \dfrac{3}{2}$$

Tìm Min của $P=kx^2+ly^2+hz^2$

Bài toán: Cho $x,y,z,k,l,h\in \mathbb{R^+}$ thỏa mãn $xy+yz+zx=1$. Tìm Min của $P=kx^2+ly^2+hz^2$

(http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h514713p2892125)