Processing math: 100%

About

Thứ Hai, 21 tháng 12, 2015

M=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+2(x+y+z)

Bài toán:
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn \dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}=12.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+2(x+y+z).



Lời giải:
Cách 1: 
Sử dụng UCT.
Từ giả thiết ta có x,y,z>\dfrac{1}{\sqrt{12}}
Ta sẽ chứng minh:
\dfrac{1}{x}+2x-3-\dfrac{1}{8} \left( \dfrac{1}{x^2}-4 \right)\ge 0
\Leftrightarrow \dfrac{(4x-1)(2x-1)^2}{8x^2}\ge 0 (Luôn đúng)


Vậy ta có: \dfrac{1}{x}+2x\ge 3+\dfrac{1}{8} \left( \dfrac{1}{x^2}-4 \right )
Tương tự cộng lại ta có kết quả.


Cách 2:
Sử dụng AM-GM toàn bài.
Đặt \left ( \dfrac{1}{2x};\dfrac{1}{2y};\dfrac{1}{2z} \right)=(a;b;c)
Bài toán trở thành:
 Tìm min P=2(a+b+c)+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} với a;b;c>0a^2+b^2+c^2=3.

Sử dụng AM-GM
P\ge 3\sqrt[3]{(a+b+c)^2\left ( \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \right )}
Có:
+ 3abc(a+b+c)\le (ab+bc+ca)^2
\Rightarrow P\ge 3\sqrt[3]{(a+b+c)^2.\dfrac{3(a+b+c)}{ab+bc+ca}}=3\sqrt[3]{\dfrac{3(a+b+c)^3}{ab+bc+ca}}
Có:
+ (a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2\le \dfrac{(a+b+c)^6}{27}
\Leftrightarrow 3(ab+bc+ca)^2\le \dfrac{(a+b+c)^6}{27}
\Leftrightarrow (a+b+c)^3\ge 9(ab+bc+ca)
P\ge 9
Dấu = khi a=b=c=1 hay x=y=z=\dfrac{1}{2}.

Không có nhận xét nào:

Đăng nhận xét