$\frac{a_1}{1+a_1^2}+\frac{a_2}{1+a_1^2+a_2^2}+...+\frac{a_{2013}}{1+a_1^2+a_2^2+...+a_{2013}^2}< \frac{\sqrt{4026}}{2}$

Bài toán: Cho $a_1;a_2;...;a_{2013}$ với $a_1^2+a_2^2+...+a_{2013}^2=1$.Cmr:
$$\frac{a_1}{1+a_1^2}+\frac{a_2}{1+a_1^2+a_2^2}+...+\frac{a_{2013}}{1+a_1^2+a_2^2+...+a_{2013}^2}< \frac{\sqrt{4026}}{2}$$

$\dfrac{ln a}{a-1}\le \dfrac{1+\sqrt[3]{a}}{a+\sqrt[3]{a}}$

Bài toán:
Cho $1\ne a>0$. Cmr
$$\dfrac{\ln a}{a-1}\le \dfrac{1+\sqrt[3]{a}}{a+\sqrt[3]{a}}$$

$\dfrac{9}{10}\le \dfrac{a}{1+bc}+\dfrac{b}{1+ca}+\dfrac{c}{1+ab}< 1$

[Bulgaria 2004] Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Cmr:
$$\dfrac{9}{10}\le \dfrac{a}{1+bc}+\dfrac{b}{1+ca}+\dfrac{c}{1+ab}<1$$.

$\dfrac{x+1}{y^2+1}+\dfrac{y+1}{z^2+1}+\dfrac{z+1}{x^2+1}\ge 3$

Bài toán:
Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x+y+z=3$. Chứng minh:
$$\dfrac{x+1}{y^2+1}+\dfrac{y+1}{z^2+1}+\dfrac{z+1}{x^2+1}\ge 3~~(*)$$

(Đề thi cuối học kì 1 khối 10 năm 2015-2016 trường THPT Nguyễn Du, Thái Bình)

$\dfrac{2x}{x^2+1}+\dfrac{2y}{y^2+1}+\dfrac{z^2-1}{z^2+1}\le \dfrac{3}{2}$

Bài toán:
Cho $x,y,z$ thực không âm thỏa mãn $xy+yz+zx=1$
Chứng minh rằng : 
$$\dfrac{2x}{x^2+1}+\dfrac{2y}{y^2+1}+\dfrac{z^2-1}{z^2+1}\le \dfrac{3}{2}.$$

$P=\dfrac{9\sqrt[3]{(ab)^2}}{a^2+3b^2+c^2+1}+\dfrac{16b\sqrt{c}}{2a^2+4b^2+c^2+1}-\dfrac{6a+6b-8}{18ab-9a-9b+4}.$

Bài toán:
Cho Các số thực $a,b,c\in \left (\dfrac{2}{3};1\right]$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$$P=\dfrac{9\sqrt[3]{(ab)^2}}{a^2+3b^2+c^2+1}+\dfrac{16b\sqrt{c}}{2a^2+4b^2+c^2+1}-\dfrac{6a+6b-8}{18ab-9a-9b+4}.$$

(Trịnh Đình Triển, 10A6 THPT Đông Thụy Anh, Thái Bình)

$\dfrac{\tan x}{1+\tan y.\tan z}+\dfrac{\tan y}{1+\tan z.\tan t}+\dfrac{\tan z}{1+\tan t.\tan x}+\dfrac{\tan t}{1+\tan x.\tan y}=2$

Bài toán:
Tìm các góc $x,y,z,t$ biết
$\left\{\begin{matrix}0<x,y,z,t<\dfrac{\pi}{2},\tan x+\tan y+\tan z+\tan t=4  &  & \\ \dfrac{\tan x}{1+\tan y.\tan z}+\dfrac{\tan y}{1+\tan z.\tan t}+\dfrac{\tan z}{1+\tan t.\tan x}+\dfrac{\tan t}{1+\tan x.\tan y}=2  &  &  \end{matrix}\right.$.

(Đề thi cuối học kì 1 lớp 11 trường THPT Nguyễn Du, Thái Bình, năm học 2015-2016)

Lời giải:

$M=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+2(x+y+z)$

Bài toán:
Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}=12$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$$M=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+2(x+y+z)$$.

$\dfrac{a+1}{b+1}+\dfrac{b+1}{c+1}+\dfrac{c+1}{a+1}\leq \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}$

Bài toán:
Cho $a, b, c$ dương. Chứng minh rằng :

$\dfrac{a+1}{b+1}+\dfrac{b+1}{c+1}+\dfrac{c+1}{a+1}\leq \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}$

$P=2(a+b+c)+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$

Bài toán: 
Cho ba số dương $a,b,c$ thay đổi thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$P=2(a+b+c)+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$$

$\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{b^2+1}+\dfrac{1}{c^2+1}\ge \dfrac{3}{2}$

Bài toán: Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=3$. Cmr:
$$\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{b^2+1}+\dfrac{1}{c^2+1}\ge \dfrac{3}{2}$$

$P=\dfrac{a^3b^3}{(a+bc )(b+ca )(c+ab)^2}$

Bài toán:
Cho $a;b;c>0$ thỏa mãn $a+b+1=c$. Tìm Max $$P=\dfrac{a^3b^3}{(a+bc )(b+ca )(c+ab)^2}$$

$\dfrac{1}{x^2(2x+3y+z)}+\dfrac{1}{y^2(2y+3z+x)}+$ $\dfrac{1}{z^2(2z+3x+y)}\le \dfrac{1}{3}$

Bài toán:

Cho $x,y,z>0$ t/m: $\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3}=2$. C/m rằng
$$\dfrac{1}{x^2(2x+3y+z)}+\dfrac{1}{y^2(2y+3z+x)}+$ $\dfrac{1}{z^2(2z+3x+y)}\le \dfrac{1}{3}$$

Ứng dụng của 1 đẳng thức đơn giản

Tác giả: Nguyễn Quốc Khánh 

Ứng dụng của 1 đẳng thức đơn giản

Trong bài viết này, tôi muốn trao đổi với các bạn về 2 bài toán sau:Bài toán 1: Cho $n$ là số nguyên, $n>1$ , $a_1,a_2,..,a_n$ là $n$ số thực. Đặt $S=\sum_{i=1}^{n}{a_{i}^2}$, $P=\min_{i<j}{\left ( a_i-a_j\right )^2}$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{S}{P}\ge{\dfrac{n\left ( n-1\right )\left ( n+1\right )}{12}}.$$

Bài toán 2: Cho $n$ là số nguyên, $n>1$, $a_1,a_2,..,a_n$ là $n$ số thực. Chứng minh rằng tồn tại $n$ số thực $b_1,b_2,..,b_n$ thỏa mãn:
$ i) \forall{i=\overline{1,n}}$,$a_i-b_i\in\mathbb{Z};$
$ ii) \sum_{1\leq {i}<j\leq {n}}{\left ( b_i-b_j\right )^2}\leq {\dfrac{n^2-1}{12}}.$

Hai bài toán này có mối liên hệ với nhau như thế nào? Dù chưa giải, các bạn cũng có thể thấy ngay sự giống nhau của 2 BĐT là ở nhân tử chung $\dfrac{n^2-1}{12}$, nhưng bài toán 2 có vẻ khó hơn rất nhiều so với bài toán 1, vì thế chúng ta sẽ thử giải bài toán 1 trước. Yêu cầu của bài toán khiến ta có cảm giác có thể cố định 1 trong 2 đại lượng $S,P$. Rõ ràng nếu phải chọn 1 trong 2 đại lượng đồng bậc đó thì ta sẽ chọn $P=1$.

Nhận xét: Với: $0<b_1<b_2<..<b_k,k>1,b_{i+1}-b_{i}\ge{1}$, $\forall i=\overline{1,k}$ thì
$$\sum_{i=1}^{k}b_{i}^2\ge \sum_{i=1}^{k}{\left ( b_1+i-1\right )^2}= k b_{1}^2+k\left ( k-1\right )b_1+\dfrac{2k^3-3k^2+k}{6} \textbf{ (1)}.$$
Hơn nữa $\left ( 1\right )$ sẽ trở thành đẳng thức nếu như $k=0$ hoặc $k=1$, nên $\left ( 1\right )$ đúng với mọi $n$ tự nhiên.

$\sum bc\sqrt{a^2-1}\leq \dfrac{3}{2}\sqrt{3}abc$

Bài toán:
Cho $a;b;c>0$ thỏa mãn: $a+b+c+2=abc$. Cmr:
$$\sum bc\sqrt{a^2-1}\leq \dfrac{3}{2}\sqrt{3}abc$$

$A=(a+b+c+3)\left(\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}\right)$

Bài toán: 
Cho $a;b;c$ thoả mãn $0\leq a\leq b\leq c\leq 1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $$A=(a+b+c+3)\left(\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}\right)$$

$A=\dfrac{(x+y+1)^2}{xy+x+y}+\dfrac{xy+x+y}{(x+y+1)^2}$

Bài toán:Tìm Min $$A=\dfrac{(x+y+1)^2}{xy+x+y}+\dfrac{xy+x+y}{(x+y+1)^2}$$

$\dfrac{(a + b)^2}{ab} + \dfrac{(b + c)^2}{bc} + \dfrac{(c + a)^2}{ca} \geq 9 + 2(\dfrac{a}{b + c} + \dfrac{b}{c + a} + \dfrac{c}{a + b})$

Bài toán: 

Cho các số thực a, b, c dương. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{(a + b)^2}{ab} + \dfrac{(b + c)^2}{bc} + \dfrac{(c + a)^2}{ca} \geq 9 + 2(\dfrac{a}{b + c} + \dfrac{b}{c + a} + \dfrac{c}{a + b})$$.

ỨNG DỤNG SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA VÀO CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

ỨNG DỤNG SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA VÀO CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Định lí Viet đối với phương trình bậc ba được phát biểu như sau:

Nếu phương trình: $ax^3+bx^2+cx+d=0, a\neq0$ có $3$ nghiệm $x_1, x_2, x_3$ thì

$$\left\{\begin{matrix} & x_1+x_2+x_3=-\dfrac{b}{a} & \\ & x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=\dfrac{c}{a} & \\ & x_1x_2x_3=-\dfrac{d}{a} & \end{matrix}\right.$$

$(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)\geq \frac{5}{16}(a+b+c+1)^2$

Bài toán:

Cho $a;b;c>0$. Cmr:

$$(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)\geq \frac{5}{16}(a+b+c+1)^2$$