Processing math: 100%

About

Thứ Ba, 2 tháng 2, 2016

\dfrac{2x}{x^2+1}+\dfrac{2y}{y^2+1}+\dfrac{z^2-1}{z^2+1}\le \dfrac{3}{2}

Bài toán:
Cho x,y,z thực không âm thỏa mãn xy+yz+zx=1
Chứng minh rằng : 

\dfrac{2x}{x^2+1}+\dfrac{2y}{y^2+1}+\dfrac{z^2-1}{z^2+1}\le \dfrac{3}{2}.



Lời giải:

Cách 1:
Có:
(1+x^2)(1+y^2)=(xy-1)^2+(x+y)^2=(yz+zx)^2+(x+y)^2
=(z^2+1)(x+y)^2.
Bđt trở thành:
\begin{align*} &\dfrac{2[x(y^2+1)+y(x^2+1)]}{(x^2+1)(y^2+1)}-\dfrac{2(x+y)^2}{(z^2+1)(x+y)^2}\le \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow &4(xy+1)(x+y)-4(x+y)^2\le (x^2+1)(y^2+1)\\ \Leftrightarrow &(x-y)^2+(xy+1-2x-2y)^2\ge 0.~\text{(LĐ)}. \end{align*}
Dấu "=" xảy ra khi x=y=2-\sqrt{3};z=\sqrt{3}.


Cách 2:

xy+yz+zx=1 nên ta có thể đặt x=\tan\dfrac{A}{2};y=\tan\dfrac{B}{2};z=\tan\dfrac{C}{2}
\Leftrightarrow \sin A+\sin B-\cos C\le \dfrac{3}{2}
\Leftrightarrow -2\cos^2 \dfrac{C}{2}+2\cos \dfrac{A-B}{2}\cos \dfrac{C}{2}-\dfrac{1}{2}\le 0.
Ta có 
\Delta '=\cos^2\dfrac{A-B}{2}-1\le 0.
nên BĐT luôn đúng.
Dấu "=" xảy ra khi \left\{\begin{matrix} \cos\dfrac{A-B}{2}=1 & \\ \cos\dfrac{C}{2}=\dfrac{1}{2} & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow A=B=\dfrac{\pi}{6};C=\dfrac{2\pi}{3}\Leftrightarrow x=y=2-\sqrt{3};z=\sqrt{3}.

Không có nhận xét nào:

Đăng nhận xét