Processing math: 100%

About

Thứ Tư, 28 tháng 9, 2016

\dfrac{x+1}{y^2+1}+\dfrac{y+1}{z^2+1}+\dfrac{z+1}{x^2+1}\ge 3

Bài toán:
Cho x,y,z>0 thỏa mãn x+y+z=3. Chứng minh:
\dfrac{x+1}{y^2+1}+\dfrac{y+1}{z^2+1}+\dfrac{z+1}{x^2+1}\ge 3~~(*)
(Đề thi cuối học kì 1 khối 10 năm 2015-2016 trường THPT Nguyễn Du, Thái Bình)
Lời giải:
Áp dụng AM-GM ngược dấu
\begin{align*} \dfrac{x+1}{y^2+1}&=x+1-\dfrac{(x+1)y^2}{y^2+1}\\ &\ge x+1-\dfrac{(x+1)y^2}{2y}\\ &=x+1-\dfrac{xy+y}{2} \end{align*}
Tương tự cộng lại ta được
\begin{align*} VT(*)&\ge x+y+z+3-\dfrac{xy+yz+zx+x+y+z}{2}\\ &=\dfrac{9}{2}-\dfrac{xy+yz+zx}{2} \end{align*}
+ Ta có: xy+yz+zx\le \dfrac{(x+y+z)^2}{3}=3
\Rightarrow VT(*)\ge \dfrac{9}{2}-\dfrac{3}{2}=3. (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1.

Không có nhận xét nào:

Đăng nhận xét