$\dfrac{x+1}{y^2+1}+\dfrac{y+1}{z^2+1}+\dfrac{z+1}{x^2+1}\ge 3$

Bài toán:
Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x+y+z=3$. Chứng minh:
$$\dfrac{x+1}{y^2+1}+\dfrac{y+1}{z^2+1}+\dfrac{z+1}{x^2+1}\ge 3~~(*)$$

(Đề thi cuối học kì 1 khối 10 năm 2015-2016 trường THPT Nguyễn Du, Thái Bình)

Lời giải:

Áp dụng AM-GM ngược dấu

$$\begin{align*} \dfrac{x+1}{y^2+1}&=x+1-\dfrac{(x+1)y^2}{y^2+1}\\ &\ge x+1-\dfrac{(x+1)y^2}{2y}\\ &=x+1-\dfrac{xy+y}{2} \end{align*}$$

Tương tự cộng lại ta được

$$\begin{align*} VT(*)&\ge x+y+z+3-\dfrac{xy+yz+zx+x+y+z}{2}\\ &=\dfrac{9}{2}-\dfrac{xy+yz+zx}{2} \end{align*}$$

+ Ta có: $$xy+yz+zx\le \dfrac{(x+y+z)^2}{3}=3$$

$$\Rightarrow VT(*)\ge \dfrac{9}{2}-\dfrac{3}{2}=3$$. (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$.