Chứng minh khi $A$ thay đổi (vẫn thỏa mãn điều kiện bài toán) thì điểm $I$ thuộc một đường cong cố định.

Bài toán:

Trong mp Oxy cho $B(-3;0);C(3;0)$. Điểm $A$ di động trong mặt phẳng Oxy sao cho tam giác $ABC$ thỏa mãn: độ dài đường cao kẻ từ đỉnh $A$ tới $BC$ bằng $3$ lần bán kính đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác $ABC$. Chứng minh khi $A$ thay đổi (vẫn thỏa mãn điều kiện bài toán) thì điểm $I$ thuộc một đường cong cố định.

Lời giải:

$BC$ là trục $Ox$

Gọi $I(x;y), IK\perp BC$ thì $K(x;0)$.

Ta có:

$$\begin{align*} S=\dfrac{1}{2}AH.BC&=pr\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}r.BC&=\dfrac{AB+BC+CA}{2}.r\\ \Leftrightarrow AB+AC&=2BC\\  \Leftrightarrow \sin C+\sin B&=2\sin A\\ \Leftrightarrow 2\cos \dfrac{A}{2}.\cos \dfrac{B-C}{2}&=4sin \dfrac{A}{2}.\cos \dfrac{A}{2}\\ \Leftrightarrow \cos \dfrac{B-C}{2}&=2\cos \dfrac{B+C}{2}\\ \Leftrightarrow \cos \dfrac{B}{2}.\cos \dfrac{C}{2}+\sin \dfrac{B}{2}.\sin \dfrac{C}{2}&=2\left [ \cos \dfrac{B}{2}.\cos \dfrac{C}{2}-\sin \dfrac{B}{2}.\sin \dfrac{C}{2} \right ]\\ \Leftrightarrow \cos \dfrac{B}{2}.\cos \dfrac{C}{2}&=3\sin \dfrac{B}{2}.\sin \dfrac{C}{2}\\ \Leftrightarrow \tan \dfrac{B}{2}.\tan \dfrac{C}{2}&=\dfrac{1}{3}\\ \Leftrightarrow \dfrac{IK}{BK}.\dfrac{IK}{CK}&=\dfrac{1}{3}\\ \Leftrightarrow 3IK^2&=BK.CK\\ \Leftrightarrow 3y^2&=|x+3|.|x-3|\\ \Leftrightarrow 3y^2&=9-x^2 \text{(Do -3<x<3)}\\ \Leftrightarrow \boxed{(E): \dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{3}=1}\end{align*}$$