$\dfrac{ln a}{a-1}\le \dfrac{1+\sqrt[3]{a}}{a+\sqrt[3]{a}}$

Bài toán:
Cho $1\ne a>0$. Cmr
$$\dfrac{\ln a}{a-1}\le \dfrac{1+\sqrt[3]{a}}{a+\sqrt[3]{a}}$$



Lời giải:

TH1: Xét $a>1$.

Đặt $\sqrt[3]{a}=t\Rightarrow a=t^3$

$$\begin{align*} BDT\Leftrightarrow &\dfrac{\ln t^3}{t^3-1}\le \dfrac{1+t}{t^3+t}\\ \Leftrightarrow &3(t^3+t)\ln t-t^4-t^3+t+1\le 0 ~(*)\end{align*}$$

Xét hàm số $f(t)=3(t^3+t)\ln t-t^4-t^3+t+1, t>1$

$$f^{(4)}t=\dfrac{18}{t}+\dfrac{6}{t^3}-24<0\forall t>1$$

$\Rightarrow f^{(3)}(t)$ nghịch biến / $(1;+\infty)\Rightarrow f^{(3)}(t)<f^{(3)}(1)=0$

......

$\Rightarrow f'(t)$ nghịch biến / $(1;+\infty)\Rightarrow f'(t)<f'(1)=0$

$\Rightarrow f(t)<0$

Vậy $(*)$ luôn đúng

TH2: Xét $0<a<1$

Đặt $\dfrac{1}{\sqrt[3]{a}}=t\Rightarrow t>1$
$$BDT\Leftrightarrow 3(t^3+t)\ln t-t^4-t^3+t+1\le 0$$

Tương tự TH1