$\begin{cases} x^3-3x=y \\ y^3-3y=z \\ z^3-3z=x \\ \end{cases}$

Bài toán:
Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^3-3x=y~(1) \\ y^3-3y=z~(2) \\ z^3-3z=x~(3) \\ \end{cases}$

Lời giải:

TH1: Xét $x\in [-2;2]$

Đặt $x=2\cos t, t\in [0;\pi]$

$$\begin{align*} (1)\Leftrightarrow &8\cos^3 t-6\cos t=y\\ \Leftrightarrow &y=2\cos 3t \end{align*}$$

$$\begin{align*} (2)\Leftrightarrow &8\cos^3 3t-6\cos 3t=z\\ \Leftrightarrow &y=2\cos 9t \end{align*}$$

$$\begin{align*} (3)\Leftrightarrow &8\cos^3 9t-6\cos 9t=2\cos t\\ \Leftrightarrow &\cos 27t=\cos 3t\\ \Leftrightarrow &\begin{bmatrix}t=\dfrac{k\pi}{13}  &  & \\ t=\dfrac{k\pi}{14}  &  &  \end{bmatrix} \end{align*}$$

Do $t\in [0;\pi]$ nên $t\in \left \{ 0;\dfrac{\pi}{13};\dfrac{2\pi}{13};...;\pi;\dfrac{\pi}{14};\dfrac{2\pi}{14};...;\dfrac{13\pi}{14} \right \}$

Hpt có 27 nghiệm $(x,y,z)=(2\cos t, 2\cos 3t, 2\cos 9t)$ với $t\in \left \{ 0;\dfrac{\pi}{13};\dfrac{2\pi}{13};...;\pi;\dfrac{\pi}{14};\dfrac{2\pi}{14};...;\dfrac{13\pi}{14} \right \}$

TH2: Xét $x\notin [-2;2]$

Ta thấy nếu $(x_0;y_0;z_0)$ là nghiệm của hpt thì $(-x_0;-y_0;-z_0)$ cũng là nghiệm của hpt nên ta chỉ cần xét $x>2$

Xét hàm số $f(x)=x^3-3x), x>2$

$$f'(x)=3x^3-3>0\forall x>2$$

$\Rightarrow f(x)$ đồng biến / $(2;+\infty)\Rightarrow f(x)>f(2)\Rightarrow y>2$

Tương tự suy ra $z>2$

Xét hàm số $f(t)=t^3-3t, t>2$

$\Rightarrow f(t)$ đồng biến / $(2;+\infty)$

Giả sử $x\ge y$

$$\begin{align*} \Leftrightarrow &f(x)\ge f(y)\\ \Leftrightarrow &y\ge z\\ \Leftrightarrow &f(y)\ge f(z)\\ \Leftrightarrow &z\ge x\\ \Rightarrow &x=y=z \end{align*}$$

Thay vào $(1)$ ta có $\begin{bmatrix}x=0(L)  &  & \\ x=\pm 2(L)  &  &  \end{bmatrix}$