Lập pt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết $R=(\sqrt{3}+1)r$

Bài toán:Trong Oxy, tam giác ABC vuông tại $A(1;1), BC: x-y+1=0.$
Lập pt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết $R=(\sqrt{3}+1)r$ và $\sin 75^o=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$



Lời giải:

$(AH):x+y-2=0\Rightarrow H\left ( \dfrac{1}{2},\dfrac{3}{2} \right )$.

$$\begin{align*} &2\left (1+\sqrt{3}\right )r=2R=BC=BK+CK=r\left ( \cot \dfrac{B}{2}+\cot \dfrac{C}{2} \right )\\ \Leftrightarrow &\cot \dfrac{B}{2}+\cot \dfrac{C}{2}=2\left ( 1+\sqrt{3} \right )\\ \Leftrightarrow &\dfrac{\sin \dfrac{B+C}{2}}{\sin \dfrac{B}{2}.\sin \dfrac{C}{2}}=2\left ( 1+\sqrt{3} \right )\\ \Leftrightarrow &\sin \dfrac{B}{2}.\sin \dfrac{C}{2}=\dfrac{1}{2\left ( \sqrt{2}+\sqrt{6} \right )}\\ \Leftrightarrow &\cos \dfrac{B-C}{2}-\cos \dfrac{B+C}{2}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\ \Leftrightarrow &\cos \dfrac{B-C}{2}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=\sin 75^{\circ}=\cos 15^{\circ}\\ \Leftrightarrow &B-C=30^{\circ} ~\vee~ C-B=30^{\circ}. \end{align*}$$

Với $B-C=30^{\circ} \Rightarrow \left\{\begin{matrix}B=60^{\circ}  &  & \\ C=30^{\circ}  &  &  \end{matrix}\right.$

Gọi $I(t,t+1)$, tam giác $ABI$ đều nên $H$ là trung điểm $BI\Rightarrow B(1-t,2-t)$

Có: $$AB=BI$$

$$\Leftrightarrow t=\dfrac{3\pm \sqrt{3}}{6}$$

$R=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$