$\frac{a_1}{1+a_1^2}+\frac{a_2}{1+a_1^2+a_2^2}+...+\frac{a_{2013}}{1+a_1^2+a_2^2+...+a_{2013}^2}< \frac{\sqrt{4026}}{2}$

Bài toán: Cho $a_1;a_2;...;a_{2013}$ với $a_1^2+a_2^2+...+a_{2013}^2=1$.Cmr:
$$\frac{a_1}{1+a_1^2}+\frac{a_2}{1+a_1^2+a_2^2}+...+\frac{a_{2013}}{1+a_1^2+a_2^2+...+a_{2013}^2}< \frac{\sqrt{4026}}{2}$$

Lời giải:

$$VT\le \sqrt{2013\sum \dfrac{a_1^2}{(1+a_1^2)^2}}$$

Ta có đánh giá sau

$$\left\{\begin{matrix} \dfrac{a_1^2}{(1+a_1^2)^2}\le \dfrac{a_1^2}{1+a_1^2}=1-\dfrac{1}{1+a_1^2}  &  & \\ \dfrac{a_2^2}{(1+a_1^2+a_2^2)^2}\le \dfrac{a_2^2}{(1+a_1^2+a_2^2)(1+a_1^2)}=\dfrac{1}{1+a_1^2}-\dfrac{1}{1+a_1^2+a_2^2}  &  & \\ ... \\ \dfrac{a_{2013}^2}{(1+a_1^2+...+a_{2013}^2)^2}\le \dfrac{1}{1+a_1^2+...+a_{2012}^2}-\dfrac{1}{1+a_1^2+...+a_{2013}^2} \end{matrix}\right.$$

Cộng theo vế

$$VT\le \sqrt{2013\left ( 1-\dfrac{1}{1+a_1^2+...+a_{2013}^2} \right )}=\sqrt{2013\left (1-\dfrac{1}{2}  \right )}=VP$$

Dấu bằng không xảy ra.

Có thể tổng quát $n$ biến.